Números Decimales
Por Joao / 19 de julio de 2026
Introducción a los Números Decimales
¡Bienvenidos a un nuevo nivel, Detectives A+! Hemos viajado por el asombroso mundo de las fracciones y aprendido a realizar todo tipo de operaciones con ellas. Pero, ¿qué pasaría si te dijera que existe una forma de escribir ciertas fracciones de manera mucho más rápida, en una sola línea y sin usar un numerador arriba y un denominador abajo? ¡Ese es el superpoder de los Números Decimales!
Hace muchos años, los matemáticos notaron que hacer cálculos con fracciones que tenían un 10, 100 o 1000 en la parte de abajo era muy común y a veces tedioso. Para facilitar las cosas, en el año 1617 un brillante matemático escocés llamado John Napier tuvo una idea revolucionaria: usar una simple coma (,) o un punto para separar la parte entera de la parte fraccionaria. Por ejemplo, propuso que la fracción 2510 se escribiera simplemente como 2,5. ¡Así nacieron los números decimales que hoy usamos para el dinero, tu estatura, y casi todo a nuestro alrededor!
Nuestros Objetivos A+ en este capítulo:
- 1. Identificación de Clases: Aprenderemos a reconocer a la perfección las diferentes familias de números decimales: los exactos, los periódicos puros y los periódicos mixtos. ¡Cada uno tiene su propio misterio!
- 2. La Fracción Generatriz: Nos convertiremos en verdaderos detectives al descubrir cómo hacer el viaje inverso. ¡Aprenderemos la técnica exacta para transformar cualquier número decimal de vuelta a la fracción que le dio origen!
- 3. Lectura y Dominio de la Coma: Descubriremos cómo leer correctamente estos números usando términos como décimos, centésimos y milésimos, entendiendo el gran valor que esconde cada posición después de la coma.
«Los números decimales son el disfraz perfecto de las fracciones. ¡Con una simple coma, las matemáticas se vuelven una aventura mucho más ágil y precisa!» — A+ Mathmentor
Saberes Previos
💡 Tip A+ Math: ¡El secreto de las divisiones!
Antes de entrar al mundo de los decimales, debes recordar que toda fracción es en realidad una división disfrazada. Además, ¡no lo olvides! En una división exacta, el residuo no existe (es cero), y en una división inexacta, el residuo es mayor que cero.
Vamos a calentar motores recordando algunos conceptos clave de tu manual de entrenamiento:
1. Expresar la siguiente división: \(12 \div 48\) como una fracción.
El primer número (dividendo) siempre va arriba como numerador, y el segundo (divisor) va abajo como denominador. Nos queda la fracción \(\frac{12}{48}\).
¡Pero un buen detective siempre simplifica! Si dividimos entre 12 arriba y abajo, la fracción irreductible es \(\frac{1}{4}\).
2. Expresar la siguiente división: \(84 \div 64\) como una fracción.
Aplicamos la misma regla: el 84 va arriba y el 64 va abajo, formando la fracción \(\frac{84}{64}\).
Ambos números tienen cuarta. Si dividimos \(84 \div 4 = 21\) y \(64 \div 4 = 16\), la respuesta simplificada es \(\frac{21}{16}\).
3. Indicar si la división: \(68 \div 15\) es exacta o inexacta.
Si intentamos dividir 68 entre 15, buscamos un número que multiplicado por 15 se acerque a 68. Ese número es 4, porque \(15 \cdot 4 = 60\).
Como nos sobran 8 unidades (el residuo no es cero), concluimos que es una división inexacta.
4. Indicar si la división: \(56 \div 14\) es exacta o inexacta.
Buscamos un número que multiplicado por 14 nos dé 56. Si probamos con el 4, vemos que \(14 \cdot 4 = 56\).
¡No sobra absolutamente nada! Como el residuo es cero, afirmamos que es una división exacta.
5. ¿Qué es una fracción propia e impropia?
Fracción Propia: Es aquella donde el numerador (el de arriba) es menor que el denominador (el de abajo). Estas fracciones valen menos de un entero (1). Por ejemplo: \(\frac{3}{5}\) o \(\frac{1}{4}\).
Fracción Impropia: Es aquella donde el numerador es mayor o igual que el denominador. Estas fracciones valen un entero o más, y de aquí nacen los famosos «números mixtos». Por ejemplo: \(\frac{7}{4}\) o \(\frac{21}{16}\).
Conceptos Básicos: Los Números Decimales
Un número decimal es la expresión lineal de una fracción (ya sea ordinaria o decimal) que se obtiene al realizar la división del numerador entre el denominador. ¡Es como si la fracción se quitara su disfraz de dos pisos y se estirara en una sola línea para que podamos ver su valor exacto! Vamos a recordar cómo hacíamos estas divisiones en primaria:
¿Cómo se dividió?
- Como \(1\) es menor que \(5\), no alcanza. Le «regalamos» un cero al dividendo y a cambio escribimos «0,» en el cociente.
- Dividimos \(10 \div 5\). Cabe exactamente 2 veces (\(5 \cdot 2 = 10\)).
- El residuo es 0. El decimal final es \(0,2\).
¿Cómo se dividió?
- Ponemos «0,» en el resultado y el \(2\) se vuelve \(20\).
- \(20 \div 3\) cabe \(6\) veces (\(3 \cdot 6 = 18\)) y sobran \(2\).
- A ese \(2\) sobrante le regalamos otro cero, formándose otro \(20\).
- Vuelve a salir \(6\) y vuelve a sobrar \(2\). ¡Es un bucle infinito!
💡 Tip A+ Math: ¡Recuerda que…!
Una fracción decimal es aquella que tiene como denominador a una potencia de \(10\) (\(10\), \(100\), \(1000\), etc.). En cambio, una fracción ordinaria tiene como denominador un número diferente a una potencia de \(10\).
Clasificación de los números decimales
Al dividir fracciones, los detectives matemáticos notaron que los resultados se agrupaban en distintas «familias». ¡Vamos a conocerlas detalladamente!
• Número decimal exacto
Son aquellos números que tienen un número limitado de cifras decimales. Es decir, al hacer la división paso a paso, llegamos a un punto donde el residuo es cero y la división termina perfectamente.
1. Ponemos «0,» y el \(1\) se vuelve \(10\).
2. \(10 \div 4\) cabe \(2\) veces (\(4 \cdot 2=8\)) y sobran \(2\).
3. Al \(2\) le regalamos un cero, se vuelve \(20\).
4. \(20 \div 4\) cabe \(5\) veces exactas. ¡Sobra \(0\) y terminamos!
1. Ponemos «0,» y el \(2\) se vuelve \(20\).
2. \(20 \div 5\) cabe \(4\) veces exactas. ¡Sobra \(0\) y la división es perfecta!
• Número decimal inexacto
Son aquellos que tienen un número ilimitado (infinito) de cifras en su parte decimal. Como la división nunca termina, la matemática creó un símbolo especial llamado «sombrerito» (\(\widehat{\ }\)) para agrupar a las cifras atrapadas en el bucle.
a) Decimal periódico puro
Aparece una o varias cifras que se repiten indefinidamente justo a partir de la coma decimal.
1. \(130 \div 99\) cabe \(1\) vez, sobran \(31\).
2. Al \(31\) le agregamos cero, se vuelve \(310\).
3. \(310 \div 99\) cabe \(3\) veces (\(297\)) y sobran \(13\).
¡Vuelve a aparecer nuestro \(13\) inicial! El bloque «13» se repetirá infinitamente.
b) Decimal periódico mixto
El período (lo que se repite) empieza luego de una o varias cifras después de la coma. A esta cifra intrusa que no se repite, la llamamos «parte no periódica».
1. \(50 \div 6\) cabe \(8\) veces y sobran \(2\). ¡Ese \(8\) es el intruso!
2. Al \(2\) le regalamos un cero, se vuelve \(20\).
3. \(20 \div 6\) cabe \(3\) veces (\(18\)) y sobran \(2\).
4. Se forma otra vez el \(20\). ¡El \(3\) acaba de entrar en el bucle infinito!
1. \(70 \div 30\) cabe \(2\) veces (\(60\)) y sobran \(10\).
2. Al \(10\) le agregamos cero, se vuelve \(100\).
3. \(100 \div 30\) cabe \(3\) veces (\(90\)) y sobran \(10\) otra vez. ¡Ahí está el bucle para el \(3\)!
⚠️ ¡Un descubrimiento asombroso!
Recuerda: Todas las fracciones tienen representación decimal. Sin embargo, existen números decimales donde su parte decimal tiene infinitas cifras sin presentar período alguno (no hay ningún bloque que se repita). ¡Estos misteriosos números no nacen de una división exacta y se les llama irracionales!
- \(1,414213562…\) proviene de \(\sqrt{2}\).
- \(3,141592653589799323846…\) es el famoso \(\pi\).
La Fracción Generatriz: ¡El Viaje de Regreso!
Ya vimos cómo una fracción se convierte en decimal al dividir. Pero, ¿qué pasa si el misterio es al revés? ¿Qué tal si nos dan el número decimal y nos piden descubrir qué fracción lo originó? A esa fracción creadora la llamamos Fracción Generatriz.
Existen dos caminos (o métodos) para encontrarla. Algunos profesores prefieren el Método Clásico (trabajar todo el número junto), y otros prefieren el Método de la Parte Entera (separar el número antes de la coma y luego sumar). ¡Como buenos Detectives A+, aprenderemos ambos caminos para que elijas el que te parezca más fácil!
💡 Tip A+ Math: ¡La Regla de Oro!
Sin importar el método que elijas o el tipo de decimal que sea, hay un paso que nunca debes olvidar: ¡Al final, siempre debes simplificar tu fracción hasta que sea irreductible!
1. Generatriz de un Decimal Exacto
Recuerda que estos son los decimales que tienen un final (no tienen sombrerito).
Camino A: El Método Clásico
- Numerador (Arriba): Escribimos todo el número completo, pero ¡sin la coma! (como si fuera un número entero).
- Denominador (Abajo): Escribimos un \(1\), seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal (los números a la derecha de la coma).
Ejemplo:
(Pusimos dos ceros abajo porque hay dos cifras después de la coma: el \(7\) y el \(5\)).
Simplificando (sacamos veinticincoava o dividimos entre \(5\) dos veces): \(\frac{75}{100} = \mathbf{\frac{3}{4}}\)
Camino B: Separando la Parte Entera
- Si el número tiene una parte entera mayor que cero (ejemplo: \(1,75\)), separamos el número entero y le sumamos la fracción que se forma solo con los decimales.
- ¡Se resuelve exactamente igual que la suma de un número entero con una fracción (nuestra vieja amiga la fracción mixta)!
Ejemplo:
Aplicamos el método de multiplicar cruzado y sumar: \((1 \cdot 100) + 75\):
Simplificando al máximo (dividiendo entre \(25\)): \(\frac{175}{100} = \mathbf{\frac{7}{4}}\)
2. Generatriz de un Decimal Periódico Puro
Recuerda que estos son los que tienen el «sombrerito» (\(\widehat{\ }\)) atrapando a todos los números inmediatamente después de la coma. ¡Aquí entran en acción los nueves (\(9\))!
Camino A: El Método Clásico
- Numerador (Arriba): Escribimos todo el número sin la coma, y le restamos la parte que NO tiene sombrerito (la parte entera).
- Denominador (Abajo): Colocamos tantos nueves (\(9\)) como cifras haya debajo del sombrerito (en el período).
Ejemplo:
(Restamos el \(6\) porque está fuera del sombrero. Ponemos dos nueves (\(99\)) porque hay dos números bajo el sombrero: el \(1\) y el \(8\)).
Restamos arriba: \(618 – 6 = 612\). Nos queda \(\frac{612}{99}\).
Simplificando (sacamos novena): \(\frac{612}{99} = \mathbf{\frac{68}{11}}\)
Camino B: Separando la Parte Entera
- Separamos el número grande (entero) y le sumamos la fracción que se forma solo con la parte del sombrerito.
Ejemplo:
Aplicamos nuestra suma de fracción mixta: \((2 \cdot 99) + 15\):
Simplificando (sacamos tercia): \(\frac{213}{99} = \mathbf{\frac{71}{33}}\)
3. Generatriz de un Decimal Periódico Mixto
Son aquellos que tienen números intrusos entre la coma y el sombrerito. Para estos, también tenemos nuestros dos caminos para que elijas con el que te sientas más cómodo.
Camino A: El Método Clásico
- Numerador (Arriba): Escribimos todo el número sin la coma, y le restamos TODA la parte que NO tiene sombrerito (juntando la parte entera con los decimales intrusos).
- Denominador (Abajo): Primero, ponemos tantos nueves (\(9\)) como cifras haya bajo el sombrero. Luego, ponemos tantos ceros (\(0\)) como cifras intrusas haya entre la coma y el sombrero.
Ejemplo 1:
(Restamos \(15\) porque está fuera del sombrero. Abajo pusimos dos nueves (\(99\)) por el «\(90\)» que está bajo el sombrero, y dos ceros (\(00\)) por el «\(15\)» que es la parte intrusa).
Restamos arriba: \(1590 – 15 = 1575\). Nos queda \(\frac{1575}{9900}\).
Simplificando paso a paso hasta llegar a lo irreductible: \(\frac{1575}{9900} = \mathbf{\frac{7}{44}}\)
Ejemplo 2 (Método Clásico):
(Le restamos \(76\) juntando el \(7\) entero y el \(6\) intruso porque son la parte libre. Abajo pusimos dos nueves (\(99\)) por el «\(23\)» bajo el sombrero, y un cero (\(0\)) por el «\(6\)» intruso).
Restando \(7623 – 76\) nos queda la fracción generatriz: \(\mathbf{\frac{7547}{990}}\)
Camino B: Separando la Parte Entera
- ¿Notaste que en el método clásico tuvimos que restar números inmensos (\(7623 – 76\))? Para evitar eso, podemos separar la parte entera antes de operar.
- Procedimiento: Separamos el entero del inicio. Luego aplicamos la regla de los nueves y ceros solo a la parte decimal (que empezará con \(0,\dots\)). Finalmente, sumamos todo.
Ejemplo paso a paso (El mismo \(7,6\widehat{23}\)):
Paso 1: Rompemos el número separando el entero \(7\) gigante:
Paso 2: Convertimos solo el decimal \(0,6\widehat{23}\).
Arriba restamos \((623 – 6)\) y abajo ponemos dos nueves y un cero (\(990\)).
Paso 3: Ahora le sumamos a esto nuestro entero \(7\) que habíamos guardado:
Paso 4: Multiplicamos cruzado \((7 \cdot 990)\) y le sumamos \(617\):
¡Fíjate bien! Llegamos exactamente a la misma fracción que con el método clásico. Este camino B es genial si no te gusta restar números inmensos. ¡Tú decides qué herramienta del Detective A+ usar!
Ejercicios Resueltos: Aplicando los Métodos
¡A poner en práctica lo aprendido, Detectives! En estos ejercicios utilizaremos el Método de la Parte Entera. Recuerda: primero separamos el número gigante que está a la izquierda de la coma, convertimos solo la parte decimal a fracción y, por último, sumamos todo. ¡Observa cada paso con atención!
1. Hallar la fracción generatriz de: \(2,125\)
Como es un decimal exacto (no tiene sombrerito), usaremos ceros en el denominador.
(Pusimos tres ceros porque hay tres cifras: 1, 2 y 5). Ahora simplificamos esa fracción tan grande dividiendo entre \(125\) arriba y abajo, lo que nos da \(\frac{1}{8}\). Luego, sumamos con la parte entera multiplicando cruzado:
2. Hallar la fracción generatriz de: \(1,\widehat{4}\)
Este es un periódico puro porque el sombrerito arranca justo después de la coma. Usaremos nueves (\(9\)) en el denominador.
(Solo pusimos un nueve porque hay una sola cifra bajo el sombrero). Multiplicamos el entero por el denominador y sumamos el de arriba:
3. Hallar la fracción generatriz de: \(1,2\widehat{7}\)
¡Atención! Este es un periódico mixto. El \(2\) es intruso y el \(7\) tiene sombrero. Usaremos una combinación de nueves y ceros.
(Arriba restamos el intruso que es el 2. Abajo pusimos un \(9\) por el sombrero y un \(0\) por el intruso). Resolvemos la resta de arriba y sumamos todo:
¡Simplificamos sacando quinta (dividiendo entre \(5\)) a los dos números!
4. Hallar la fracción generatriz de: \(2,4\widehat{5}\)
Otro periódico mixto. Separamos nuestro número grande y analizamos la parte decimal. El \(4\) está libre y el \(5\) tiene sombrero.
Restamos arriba y operamos la suma cruzada con el denominador:
(El \(221\) y el \(90\) no tienen divisores en común, por lo que la fracción ya es irreductible).
💡 Tip A+ Math: ¡Comprueba como un verdadero Detective!
Si alguna vez dudas de tu respuesta, puedes comprobarla rápidamente. Solo tienes que agarrar tu resultado final y dividir el número de arriba entre el de abajo. Si te devuelve exactamente el mismo número decimal del inicio… ¡Felicidades, tu misión ha sido un éxito!
Ejercicio 1:
Mencionar qué tipo de número decimal se obtiene en las siguientes fracciones:
💡 Tip A+ Math: ¡La trampa del detective!
Antes de lanzarte a dividir para descubrir qué decimal se esconde, siempre debes preguntarte: ¿Se puede simplificar esta fracción? Si omites este paso, trabajarás con números inmensos y la división será muy difícil. ¡Simplifica hasta que sea irreductible y luego divide!
Resolución paso a paso:
-
a) Analizando \(\frac{12}{20}\)
Paso 1: ¡Simplificamos! Ambos números tienen cuarta (podemos dividirlos entre \(4\)).\[\frac{12 \div 4}{20 \div 4} = \frac{3}{5}\]Paso 2: Ahora dividimos \(3 \div 5\) de forma sencilla:El \(3\) no alcanza, así que ponemos «0,» en el cociente y le regalamos un cero al tres volviéndolo \(30\). Como \(30 \div 5 = 6\) el residuo es exacto (\(0\)).
¡Resultado! Al tener residuo cero, es un Decimal exacto. -
b) Analizando \(\frac{24}{15}\)
Paso 1: Simplificamos. Ambos números tienen tercia (son divisibles entre \(3\)).\[\frac{24 \div 3}{15 \div 3} = \frac{8}{5}\]Paso 2: Dividimos \(8 \div 5\):El \(8 \div 5\) cabe \(1\) vez y sobran \(3\). Al residuo le regalamos un cero para seguir dividiendo (poniendo la coma).
\(30 \div 5\) da \(6\) exacto.
¡Resultado! Como al final no sobra nada (residuo cero), es un Decimal exacto. -
c) Analizando \(\frac{7}{9}\)
Paso 1: Intentamos simplificar… ¡pero \(7\) y \(9\) no tienen divisores en común! Ya es una fracción irreductible.
Paso 2: Dividimos \(7 \div 9\):El \(7\) no alcanza, así que le regalamos un cero formando un \(70\). \(70 \div 9\) cabe \(7\) veces (\(63\)) y sobran \(7\).
¡Vuelve a sobrar \(7\)! Se forma un bucle infinito.
¡Resultado! Como el período empieza justo después de la coma (\(0,\widehat{7}\)), es un Decimal periódico puro. -
d) Analizando \(\frac{14}{21}\)
Paso 1: Simplificamos. Tanto \(14\) como \(21\) están en la tabla del \(7\) (les sacamos séptima).\[\frac{14 \div 7}{21 \div 7} = \frac{2}{3}\]Paso 2: Dividimos \(2 \div 3\):¡Es nuestro viejo amigo el bucle del \(6\)! Al dividir \(20 \div 3\) siempre sobrará \(2\).
¡Resultado! Al tener una cifra que se repite infinitamente justo después de la coma (\(0,\widehat{6}\)), es un Decimal periódico puro.
Ejercicio 2:
Marca con un aspa en el recuadro correspondiente, clasificando cada número decimal en su respectiva familia:
| Número | Número racional | ||
|---|---|---|---|
| Decimal exacto | Decimal inexacto | ||
| Periódico puro | Periódico mixto | ||
| \(0,555\) | |||
| \(2,444…\) | |||
| \(6,2353535…\) | |||
| \(5,22595959…\) | |||
| \(6,4545\) | |||
| \(3,33444…\) | |||
| \(7,232323…\) | |||
💡 Tip A+ Math: ¡Busca los puntos suspensivos!
La primera pista de un buen detective es mirar el final del número. Si no tiene puntos suspensivos (\(…\)), significa que la división terminó, ¡es un decimal exacto! Si sí tiene puntos suspensivos, es inexacto y debes mirar justo después de la coma para ver si hay intrusos (mixto) o si se repite inmediatamente (puro).
Resolución paso a paso:
-
1. Analizando \(0,555\) y \(6,4545\)
¡Cuidado con la trampa! Aunque veas números repetidos, ninguno de estos dos tiene puntos suspensivos (\(…\)). Esto significa que tienen un final. Por lo tanto, marcamos una aspa en Decimal Exacto. -
2. Analizando \(2,444…\) y \(7,232323…\)
Ambos tienen puntos suspensivos, así que son inexactos. Si miramos justo después de la coma, vemos que el \(4\) y el \(23\) empiezan a repetirse inmediatamente, no hay intrusos. Les corresponde un aspa en Periódico Puro. -
3. Analizando \(6,2353535…\)
Es inexacto (\(…\)). Después de la coma hay un intruso (el \(2\)) y recién después empieza a repetirse el \(35\). Como mezcla un intruso con un período, marcamos Periódico Mixto. -
4. Analizando \(5,22595959…\)
Tiene puntos suspensivos. Observamos que el \(22\) es el intruso y luego el \(59\) se repite infinitamente. ¡Es otro Periódico Mixto! -
5. Analizando \(3,33444…\)
Tiene puntos suspensivos. Aquí el intruso es el \(33\) y la cifra que se repite formando el período es el \(4\). Le corresponde un aspa en Periódico Mixto.
Tabla Completada:
| Número | Número racional | ||
|---|---|---|---|
| Decimal exacto | Decimal inexacto | ||
| Periódico puro | Periódico mixto | ||
| \(0,555\) | X | ||
| \(2,444…\) | X | ||
| \(6,2353535…\) | X | ||
| \(5,22595959…\) | X | ||
| \(6,4545\) | X | ||
| \(3,33444…\) | X | ||
| \(7,232323…\) | X | ||
Ejercicio 3:
Escribe en forma de número decimal, los siguientes números racionales. ¡Recuerda hacer tus divisiones paso a paso!
| Número racional | Número decimal |
|---|---|
| \(\frac{1}{4}\) | |
| \(\frac{5}{12}\) | |
| \(\frac{1}{3}\) | |
| \(\frac{3}{8}\) | |
| \(5 \frac{2}{3}\) | |
| \(\frac{11}{37}\) |
💡 Tip A+ Math: ¡Números Mixtos al Rescate!
Si te encuentras con un número mixto (como \(5 \frac{2}{3}\)), ¡no te asustes! No necesitas convertirlo a una fracción gigante. Simplemente separa el entero (\(5\)) y colócalo delante de la coma (\(5,\dots\)). Luego, divide solo la fracción (\(2 \div 3\)) para descubrir qué números van después de la coma.
Resolución paso a paso:
-
1. Fracción \(\frac{1}{4}\)
El \(1\) no alcanza. Regalamos un cero (\(10\)) y ponemos «0,» en el cociente. \(10 \div 4\) es \(2\) y sobran \(2\). Le regalamos otro cero al residuo (\(20\)). \(20 \div 4 = 5\) exacto.
Respuesta: \(0,25\) (Exacto). -
2. Fracción \(\frac{5}{12}\)
\(50 \div 12 = 4\) (sobra \(2\)).
\(20 \div 12 = 1\) (sobra \(8\)).
\(80 \div 12 = 6\) (\(12 \cdot 6=72\), sobra \(8\)).
Vuelve a sobrar \(8\), el \(6\) entra en un bucle. El \(41\) son intrusos.
Respuesta: \(0,41\widehat{6}\) (Mixto). -
3. Fracción \(\frac{1}{3}\)
\(10 \div 3 = 3\) y sobra \(1\). Regalamos cero y formamos otro \(10\)… Es un bucle inmediato.
Respuesta: \(0,\widehat{3}\) (Puro). -
4. Fracción \(\frac{3}{8}\)
\(30 \div 8 = 3\) (sobra \(6\)).
\(60 \div 8 = 7\) (sobra \(4\)).
\(40 \div 8 = 5\) (exacto, sobra \(0\)).
Respuesta: \(0,375\) (Exacto). -
5. Número mixto \(5 \frac{2}{3}\)
Separamos el \(5\). Solo dividimos \(\frac{2}{3}\).
\(20 \div 3 = 6\) (sobra \(2\)). Bucle infinito del \(6\). Esto nos da \(0,\widehat{6}\).
Le sumamos nuestro \(5\) entero: \(5 + 0,\widehat{6}\).
Respuesta: \(5,\widehat{6}\) (Puro). -
6. Fracción \(\frac{11}{37}\)
\(110 \div 37 = 2\) (\(74\)), sobran \(36\).
\(360 \div 37 = 9\) (\(333\)), sobran \(27\).
\(270 \div 37 = 7\) (\(259\)), sobran \(11\).
¡Regresamos al \(11\) inicial! El bloque «297» se repetirá.
Respuesta: \(0,\widehat{297}\) (Puro).
Ejercicio 4:
Escribe la fracción generatriz de los siguientes números decimales:
| Número decimal | Fracción generatriz |
|---|---|
| \(0,75\) | |
| \(0,\widehat{2}\) | |
| \(0,24\widehat{6}\) | |
| \(5,\widehat{48}\) | |
| \(0,727272…\) | |
| \(0,1666…\) |
💡 Tip A+ Math: ¡Identifica al sospechoso!
El primer paso para encontrar la Fracción Generatriz es saber a qué «familia» pertenece el decimal. Fíjate bien si es exacto (usa ceros abajo), periódico puro (usa nueves abajo) o periódico mixto (usa nueves y ceros abajo). ¡Y nunca olvides simplificar al final!
Resolución paso a paso:
-
1. Analizando \(0,75\)
No tiene sombrerito ni puntos suspensivos, es un Decimal Exacto. Escribimos el número arriba y un \(1\) con dos ceros abajo (porque hay dos cifras decimales).\[\frac{75}{100}\]¡Simplificamos! Le sacamos veinticincoava (dividimos entre \(25\) arriba y abajo):\[= \frac{3}{4}\] -
2. Analizando \(0,\widehat{2}\)
El sombrerito empieza inmediatamente después de la coma, es un Periódico Puro. Ponemos el \(2\) arriba y un solo \(9\) abajo (porque solo hay un número bajo el sombrero).\[= \frac{2}{9}\](No se puede simplificar más, ya son Primos Entre Sí). -
3. Analizando \(0,24\widehat{6}\)
El \(6\) tiene sombrero y el \(24\) son los intrusos, es un Periódico Mixto. Arriba restamos todo menos los intrusos: \(246 – 24\). Abajo ponemos un \(9\) (por el sombrero) y dos ceros (por el «24»).\[\frac{246 – 24}{900} = \frac{222}{900}\]¡Simplificamos paso a paso! Sacamos mitad (\(\frac{111}{450}\)) y luego sacamos tercia (dividiendo entre \(3\)):\[= \frac{37}{150}\] -
4. Analizando \(5,\widehat{48}\)
Es un periódico puro pero con un número entero. ¡Aplicamos nuestro truco de separar la parte entera!\[5 + \frac{48}{99}\]Simplificamos la fracción sacando tercia (\(\frac{16}{33}\)) y luego multiplicamos cruzado y sumamos \((5 \cdot 33) + 16\):\[= 5 + \frac{16}{33} = \frac{165 + 16}{33} = \frac{181}{33}\] -
5. Analizando \(0,727272…\)
El número «72» se repite infinitamente, así que lo escribimos con su sombrerito: \(0,\widehat{72}\). Es un Periódico Puro.\[\frac{72}{99}\]Simplificamos sacando novena a ambos números (dividiendo entre \(9\)):\[= \frac{8}{11}\] -
6. Analizando \(0,1666…\)
El \(1\) es el intruso y el \(6\) se repite infinitamente (\(0,1\widehat{6}\)). Es un Periódico Mixto. Restamos el intruso y ponemos un nueve y un cero abajo.\[\frac{16 – 1}{90} = \frac{15}{90}\]Simplificamos sacando quinceava a ambos (o dividiendo entre \(5\) y luego entre \(3\)):\[= \frac{1}{6}\]
Tabla Completada:
| Número decimal | Fracción generatriz |
|---|---|
| \(0,75\) | \(\frac{3}{4}\) |
| \(0,\widehat{2}\) | \(\frac{2}{9}\) |
| \(0,24\widehat{6}\) | \(\frac{37}{150}\) |
| \(5,\widehat{48}\) | \(\frac{181}{33}\) |
| \(0,727272…\) | \(\frac{8}{11}\) |
| \(0,1666…\) | \(\frac{1}{6}\) |
Ejercicio 5:
Hallar la fracción generatriz de \(1,242424…\)
Alternativas del ejercicio:
💡 Tip A+ Math: ¡Ponle su sombrero!
Antes de operar, escribe tu decimal utilizando su «sombrerito» (\(\widehat{\ }\)). Observa bien qué números se repiten para saber a qué familia pertenece y cuántos nueves (\(9\)) o ceros (\(0\)) irán en el denominador. ¡Y recuerda que nuestro método de separar la parte entera nos salva de trabajar con números gigantes!
Resolución paso a paso:
-
Paso 1: Identificamos el tipo de decimal
Vemos que el bloque «24» se repite sin parar (\(1,242424…\)). Si lo escribimos con el sombrero mágico nos queda: \(1,\widehat{24}\). Como el periodo arranca inmediatamente después de la coma, ¡es un Periódico Puro! -
Paso 2: Separamos la parte entera
Para hacer los cálculos más sencillos, separamos el \(1\) entero de la parte decimal.\[1 + 0,\widehat{24}\] -
Paso 3: Convertimos solo el decimal
Transformamos el \(0,\widehat{24}\). Escribimos el \(24\) arriba, y como hay dos cifras bajo el sombrero, ponemos dos nueves (99) abajo.\[\frac{24}{99}\]¡Momento de simplificar! Ambos números están en la tabla del \(3\) (les sacamos tercia):
\(24 \div 3 = 8\) y \(99 \div 3 = 33\). La fracción simplificada es \(\frac{8}{33}\). -
Paso 4: Juntamos todo nuevamente
Ahora sumamos nuestro \(1\) entero con la fracción simplificada. Multiplicamos cruzado y sumamos al numerador:\[1 + \frac{8}{33} = \frac{1 \cdot 33 + 8}{33} = \frac{33 + 8}{33} = \mathbf{\frac{41}{33}}\]Como \(41\) y \(33\) no tienen divisores comunes, hemos llegado a nuestra fracción generatriz irreductible.
Respuesta correcta: A) \(\frac{41}{33}\)
Ejercicio 6:
Halle la fracción generatriz de los siguientes números decimales:
💡 Tip A+ Math: ¡Cuenta los pasos después de la coma!
Como ninguno de estos números tiene puntos suspensivos ni sombreritos, todos son Decimales Exactos. La regla es fácil: cuenta cuántos números hay después de la coma; ¡esa será exactamente la cantidad de ceros que acompañarán al \(1\) en tu denominador! Y recuerda, ¡un buen detective nunca se olvida de simplificar el resultado final!
Resolución paso a paso:
-
a) Analizando \(0,35\)
Hay dos cifras después de la coma (el \(3\) y el \(5\)). Ponemos el número completo arriba y un \(1\) con dos ceros abajo (\(100\)).\[\frac{35}{100}\]Ambos números terminan en \(5\) o en \(0\), ¡así que tienen quinta! Dividimos entre \(5\) arriba y abajo:\[= \mathbf{\frac{7}{20}}\] -
b) Analizando \(0,56\)
Al igual que el anterior, tiene dos cifras decimales. Usaremos el \(100\) en el denominador.\[\frac{56}{100}\]Ambos son números pares. Podemos sacarles mitad dos veces seguidas, o dividir directamente entre \(4\) (sacar cuarta):\[= \mathbf{\frac{14}{25}}\] -
c) Analizando \(0,125\)
¡Atención aquí! Tenemos tres cifras después de la coma (\(1\), \(2\) y \(5\)). Eso significa que necesitamos tres ceros en nuestro denominador (\(1000\)).\[\frac{125}{1000}\]Para simplificar, podemos sacar quinta varias veces o, si eres un detective experto, notar que \(1000 \div 125 = 8\). Dividimos entre \(125\) arriba y abajo:\[= \mathbf{\frac{1}{8}}\] -
d) Analizando \(1,25\)
Este número tiene una parte entera. ¡Usemos nuestro truco especial para no trabajar con fracciones gigantes! Separamos el \(1\) entero de la parte decimal:\[1 + 0,25\]Convertimos solo el \(0,25\) (tiene dos cifras, usamos \(100\)):\[1 + \frac{25}{100}\]Simplificamos la fracción sacando veinticincoava (dividimos entre \(25\) arriba y abajo) para que nos quede \(\frac{1}{4}\). Luego, multiplicamos cruzado con nuestro \(1\) entero y sumamos todo:\[= 1 + \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \mathbf{\frac{5}{4}}\]
Ejercicio 7:
Hallar la fracción generatriz de \(0,27777…\)
Alternativas del ejercicio:
💡 Tip A+ Math: ¡Atrápalo con el sombrero!
Cuando veas un número largo con puntos suspensivos, tu primera misión es descubrir qué número se repite. Al ponerle el sombrerito (\(\widehat{\ }\)), sabrás al instante si es un periódico puro (todos tienen sombrero) o un periódico mixto (hay intrusos sin sombrero después de la coma).
Resolución paso a paso:
-
Paso 1: Identificamos el tipo de decimal
Observamos el número \(0,27777…\). Vemos que el \(2\) aparece una vez, y luego el \(7\) entra en un bucle infinito. ¡Atrápalo con el sombrero! Se escribe: \(0,2\widehat{7}\). Como hay un número libre después de la coma (el \(2\)), es un Periódico Mixto. -
Paso 2: Armamos el Numerador (Arriba)
Escribimos el número completo sin la coma (\(27\)) y le restamos la parte intrusa que no tiene sombrero (el \(2\)).\(27 – 2 = 25\) -
Paso 3: Armamos el Denominador (Abajo)
Revisamos los decimales: hay una sola cifra debajo del sombrero (ponemos un \(9\)) y hay una cifra intrusa después de la coma (ponemos un \(0\)). ¡El denominador es \(90\)! Juntando todo tenemos:\[\frac{25}{90}\] -
Paso 4: ¡Simplificamos!
Nuestra regla de oro. Ambos números terminan en \(5\) o en \(0\), así que les podemos sacar quinta (dividimos entre \(5\)):- \(25 \div 5 = \mathbf{5}\)
- \(90 \div 5 = \mathbf{18}\)
\[= \frac{5}{18}\]Como \(5\) y \(18\) no tienen más divisores en común, ¡el caso está resuelto!
Respuesta correcta: B) \(\frac{5}{18}\)
Ejercicio 8:
¿Cuál es el valor de «\(b – a\)», si se cumple que:
Alternativas del ejercicio:
💡 Tip A+ Math: ¡Develando el misterio!
Cuando nos dan letras en lugar de números (\(a\) y \(b\)), ¡no hay que asustarse! Estas letras son simplemente un «disfraz». Para quitarles el disfraz y descubrir quiénes son, tenemos que tomar la fracción que nos dan al otro lado del signo igual (\(=\)) y efectuar la división. El resultado decimal nos revelará la identidad de cada letra.
Resolución paso a paso:
-
Paso 1: Realizamos la división
Vamos a dividir \(7 \div 15\) para convertir la fracción en decimal. Presta mucha atención a la resta y a cómo bajamos los ceros.El \(7\) no alcanza. Regalamos un cero (\(70\)) y ponemos «0,».
\(70 \div 15 = 4\) (\(60\)), y al restar \(70 – 60\) nos queda exactamente 10.
A ese \(10\) le agregamos el nuevo cero en rojo para formar el 100.
\(100 \div 15 = 6\) (\(90\)), y al restar nos vuelve a quedar \(10\).
¡El número decimal es \(0,4\widehat{6}\)! -
Paso 2: Igualamos e identificamos a los «sospechosos»
Ahora que conocemos el decimal verdadero, lo comparamos con el que nos dio el problema:\[0,a\widehat{b} = 0,4\widehat{6}\]¡El misterio está resuelto! Comparando las posiciones, descubrimos que:- La letra a ocupa el lugar del 4. \((a = 4)\)
- La letra b ocupa el lugar bajo el sombrero, que es el 6. \((b = 6)\)
-
Paso 3: Calculamos lo que nos piden
El problema nos pide hallar el valor de «\(b – a\)». Simplemente reemplazamos las letras por los números que acabamos de descubrir:\[b – a = 6 – 4 = \mathbf{2}\]
Respuesta correcta: B) 2
Ejercicio 9:
Hallar «\(a\)», si se cumple la siguiente igualdad:
Alternativas del ejercicio:
💡 Tip A+ Math: ¡Develando el misterio!
Cuando nos piden encontrar una letra oculta en un número decimal, el truco es simple: olvídate de la letra por un momento y resuelve la división que está del otro lado. Al obtener el decimal exacto, solo tendrás que comparar las posiciones para desenmascarar a la letra misteriosa.
Resolución paso a paso:
-
Paso 1: Realizamos la división
Vamos a dividir \(7 \div 30\) para convertir la fracción en decimal. Presta mucha atención a la resta y al orden de los números.El \(7\) no alcanza. Regalamos un cero (\(70\)) y ponemos «0,».
\(70 \div 30 = 2\) (\(60\)), y al restar \(70 – 60\) nos queda exactamente 10.
A ese \(10\) le agregamos el nuevo cero en rojo para formar el 100.
\(100 \div 30 = 3\) (\(90\)), y al restar \(100 – 90\) nos vuelve a quedar \(10\).
¡Vuelve a sobrar \(10\)! El número decimal es \(0,2\widehat{3}\). -
Paso 2: Comparamos para hallar «a»
Ahora que conocemos el verdadero decimal, lo comparamos cara a cara con el que nos dio el problema:\[0,a\widehat{3} = 0,2\widehat{3}\]Observando la posición que ocupa la letra, descubrimos rápidamente que la «\(a\)» está en el lugar del número \(\mathbf{2}\).
Respuesta correcta: B) 2
Ejercicio 10:
Escribe la fracción generatriz de los siguientes números decimales:
| Número decimal | Fracción generatriz |
|---|---|
| \(0,24\) | |
| \(5,484848…\) | |
| \(0,528\) | |
| \(0,2444…\) | |
| \(0,323232…\) | |
| \(3,2888…\) | |
| \(0,5666…\) |
💡 Tip A+ Math: ¡Identifica y separa!
Antes de resolver, fíjate en dos cosas: primero, el final del número (para saber si es exacto, puro o mixto). Segundo, fíjate si hay un número entero grande antes de la coma. Si lo hay, ¡sepáralo! Así trabajarás con fracciones mucho más pequeñas y fáciles de simplificar.
Resolución paso a paso:
-
1. Analizando \(0,24\)
Es un Decimal Exacto. Escribimos \(\frac{24}{100}\). Simplificamos sacando cuarta (dividimos entre \(4\)): \(\mathbf{\frac{6}{25}}\).¡Comprobación A+!
-
2. Analizando \(5,484848…\)
Es \(5,\widehat{48}\). Separamos el entero: \(5 + \frac{48}{99}\). Simplificamos la fracción sacando tercia: \(5 + \frac{16}{33}\). Sumamos multiplicando cruzado: \(\frac{(5 \cdot 33) + 16}{33} = \mathbf{\frac{181}{33}}\). -
3. Analizando \(0,528\)
Es un Decimal Exacto. Escribimos \(\frac{528}{1000}\). Simplificamos paso a paso sacando mitad tres veces seguidas (o dividiendo directamente entre \(8\)): \(\mathbf{\frac{66}{125}}\). -
4. Analizando \(0,2444…\)
Es \(0,2\widehat{4}\) (Periódico Mixto). Restamos \(\frac{24 – 2}{90} = \frac{22}{90}\). Sacamos mitad: \(\mathbf{\frac{11}{45}}\).¡Comprobación A+!
-
5. Analizando \(0,323232…\)
Es \(0,\widehat{32}\). Un Periódico Puro. Ponemos \(\frac{32}{99}\). El \(32\) y el \(99\) no tienen divisores en común, por lo que ya está simplificada: \(\mathbf{\frac{32}{99}}\). -
6. Analizando \(3,2888…\)
Es \(3,2\widehat{8}\). Separamos el entero: \(3 + \frac{28 – 2}{90}\). Simplificamos: \(3 + \frac{26}{90} = 3 + \frac{13}{45}\). Sumamos: \(\frac{(3 \cdot 45) + 13}{45} = \frac{135 + 13}{45} = \mathbf{\frac{148}{45}}\). -
7. Analizando \(0,5666…\)
Es \(0,5\widehat{6}\). Periódico Mixto. Restamos el intruso: \(\frac{56 – 5}{90} = \frac{51}{90}\). Simplificamos sacando tercia: \(\mathbf{\frac{17}{30}}\).¡Comprobación A+!
Tabla Completada:
| Número decimal | Fracción generatriz |
|---|---|
| \(0,24\) | \(\frac{6}{25}\) |
| \(5,484848…\) | \(\frac{181}{33}\) |
| \(0,528\) | \(\frac{66}{125}\) |
| \(0,2444…\) | \(\frac{11}{45}\) |
| \(0,323232…\) | \(\frac{32}{99}\) |
| \(3,2888…\) | \(\frac{148}{45}\) |
| \(0,5666…\) | \(\frac{17}{30}\) |
¡Misión Cumplida, Detectives A+! 🎓
Hoy has demostrado ser un verdadero Detective Matemático. Has explorado el fascinante universo de los números decimales y desentrañado el misterio de la fracción generatriz. ¡Ahora sabes que cualquier número decimal con un fin o un ciclo repetitivo oculta una fracción detrás! Estás completamente preparado para superar cualquier desafío en esta aventura.
¿Sabías que la razón por la cual algunas divisiones generan números periódicos infinitos (como \(0,\widehat{3}\)) se debe a la estructura de nuestro sistema de conteo basado en el número 10? Cuando divides entre números cuyos factores primos no son potencias de 2 o de 5 (como el 3, el 7 o el 9), los residuos nunca llegan a ser cero, atrapando a los números en un bucle eterno. ¡Las matemáticas siempre tienen una explicación lógica detrás de cada misterio!
🔋 Próximo Nivel: Operaciones con Números Decimales
¡Nuestra aventura numérica continúa y se pone más emocionante! En el siguiente nivel aprenderemos a realizar Operaciones con Números Decimales. Sumar, restar, multiplicar y dividir con comas será pan comido gracias a las bases sólidas que acabas de construir.
Un pequeño vistazo a nuestros próximos superpoderes:
Alineación Perfecta
Multiplicación y División Ninja
Prepárate para seguir sumando conocimientos y dominando los números como un profesional. ¡Nos vemos en el próximo módulo para continuar esta gran aventura matemática A+!