Aplicaciones de los números fraccionarios
Por Joao / 17 de julio de 2026
Introducción a la Aplicación de Números Fraccionarios
¡El entrenamiento en la base ha terminado, Detectives A+! Ya sabes sumar, restar, multiplicar, dividir e incluso dominar las potencias y raíces con fracciones. Tienes todas las herramientas en tu cinturón de detective. Ahora ha llegado el momento de la verdad: ¡salir al mundo real! Las matemáticas no solo viven en los cuadernos; de hecho, el uso de las fracciones es tan antiguo como nuestro propio lenguaje.
Presta atención a cómo hablas todos los días. Seguramente utilizas expresiones como: «Me queda la mitad» de la batería del celular, «Falta un cuarto de hora» para salir al recreo, o «Caben tres cuartos de litro» en tu botella de agua. Incluso cuando descargas un juego y dice «Está al treinta por ciento de su capacidad», o cuando escuchas a alguien decir «Tengo un décimo de lotería», ¡estás utilizando fracciones sin darte cuenta!. En esta clase, vamos a aprender a atrapar esas frases cotidianas, expresarlas matemáticamente y reconocer su verdadero valor numérico.
Nuestros Objetivos A+ en este capítulo:
- 1. Traducción Matemática: Aprenderemos a ser intérpretes. Pasaremos del «lenguaje cotidiano» al «lenguaje matemático», descubriendo cómo palabras clave se transforman mágicamente en fracciones y operaciones.
- 2. Interpretación y Valor Numérico: Descubriremos cómo extraer los datos de un problema de la vida real, analizarlos y reconocer cuánto representa numéricamente cada parte de un todo.
- 3. Resolución de Misterios Cotidianos: Utilizaremos todo nuestro arsenal de operaciones (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones) para plantear ecuaciones y resolver situaciones diarias, desde repartir una pizza hasta calcular tiempos y medidas.
«Las matemáticas no solo viven en los libros; ¡se esconden en cada cuarto de hora, en cada mitad de sándwich y en cada paso de nuestro día a día!» — A+ Mathmentor
Saberes Previos
💡 Tip A+ Math: ¡Las herramientas del Detective!
Antes de lanzarnos a resolver misterios de la vida real, necesitamos asegurarnos de que nuestra caja de herramientas esté en perfectas condiciones. Recuerda que la palabra «de» en matemáticas es un disfraz para la multiplicación. Además, ¡nunca olvides tus trucos para sumar fracciones heterogéneas (Carita Feliz o M.C.M.) y tu superpoder de simplificar!
Vamos a calentar motores resolviendo estos pequeños retos de tu manual de entrenamiento:
1. Hallar los \(\frac{2}{3}\) de \(18\).
La palabra clave «de» se traduce como una multiplicación. Entonces, escribimos: \(\frac{2}{3}\cdot 18\).
Podemos dividir \(18\) entre \(3\) (que es \(6\)), y luego multiplicarlo por \(2\).
\(6\cdot 2=\) 12.
2. ¿Qué fracción representa la región sombreada?
Contamos un total de \(8\) cuadritos iguales (ese es nuestro denominador, el todo). De esos, hay \(4\) cuadritos pintados de gris (ese es nuestro numerador, las partes que tomamos).
La fracción es \(\frac{4}{8}\). ¡Pero espera! Como buenos detectives, siempre simplificamos: sacando cuarta arriba y abajo, nos queda \(\frac{1}{2}\).
3. Reducir: \(\frac{48}{36}\)
Reducir significa simplificar al máximo. Ambos números están en la tabla del \(12\).
Si dividimos el numerador (\(48\)) entre \(12\), nos da \(4\).
Si dividimos el denominador (\(36\)) entre \(12\), nos da \(3\).
La fracción irreductible es \(\frac{4}{3}\).
4. Efectuar: \(\frac{2}{5}+\frac{3}{4}\)
¡Suma de fracciones heterogéneas! Aplicamos el método del aspa (Carita Feliz):
Multiplicamos cruzado: \((2\cdot 4)+(5\cdot 3)=8+15=23\) (Numerador).
Multiplicamos denominadores: \(5\cdot 4=20\) (Denominador).
El resultado es \(\frac{23}{20}\).
5. Efectuar: \(\frac{12}{7}-\frac{5}{7}\)
¡Esta es fácil! Como tienen el mismo denominador (fracciones homogéneas), solo mantenemos el \(7\) abajo y restamos los números de arriba: \(12-5=7\).
Nos queda \(\frac{7}{7}\), y sabemos que cualquier número dividido por sí mismo es igual a 1.
6. Reto A+ (División): \(\frac{3}{5}\div\frac{2}{3}\)
Recordemos cómo dividir. Puedes usar el método cruzado (rebote) o invertir la segunda fracción y multiplicar de frente. Usando el rebote: \(3\cdot 3=9\) (arriba) y \(5\cdot 2=10\) (abajo).
El resultado es \(\frac{9}{10}\). ¡Tu caja de herramientas está lista!
Conceptos Básicos: Relación Parte – Todo
En este capítulo vamos a aplicar el concepto de fracciones a diferentes tipos de problemas, pero antes veremos algunas ideas más, que son sumamente útiles. ¿Recuerdas la representación gráfica de una fracción, cierto?
Aquí tenemos la fracción \(\frac{3}{7}\). Recuerda que eso significa que de los 7 pedazos en que se ha dividido el rectángulo, hemos tomado solo 3. Observa que en realidad los 7 pedazos son el total, y que los 3 pedazos que hemos tomado son solo una parte del total.
Quiere decir entonces que una fracción es una relación de parte a todo, donde:
💡 Tip A+ Math: ¡No olvidar!
Una fracción es una división de dos números enteros \(\frac{a}{b}\) donde \(b \neq 0\). El número de abajo (Denominador o Todo) jamás puede ser cero, porque no podemos dividir algo en «cero partes».
➡️ Ejemplo detallado:
En un salón de clases hay 50 alumnos y de ellos, 15 estudian inglés en un instituto. ¿Qué fracción de los alumnos del salón, estudia inglés en dicho instituto?
Resolución:
Observa que del total de alumnos del salón (son 50), solo una parte estudia en el instituto (que son 15), por eso la fracción pedida es:
¡Como verdaderos detectives matemáticos, simplificamos la fracción sacando quinta (dividiendo entre 5) arriba y abajo para llegar al resultado final de \(\frac{3}{10}\)!
Traducción Matemática: El secreto de la palabra «DE»
En el mundo de los detectives matemáticos, los problemas no siempre vienen con los signos de suma o multiplicación ya escritos. A veces, las operaciones están escondidas detrás de palabras cotidianas. La palabra más famosa y escurridiza de todas es la palabra «de» (y sus familiares: «del», «de los», «de las»).
🤔 ¿Por qué significa multiplicar?
Para entenderlo, piensa en un ejemplo súper sencillo que ya conoces. Si te digo: «Quiero el doble de 10″, tu cerebro automáticamente hace una multiplicación: \(2\cdot 10=20\). Si te digo: «Quiero el triple de 5″, tu mente multiplica: \(3\cdot 5=15\).
En las matemáticas, la preposición «de» actúa como un puente que nos dice «cuántas veces» o «qué parte» vamos a tomar de una cantidad total. ¡Y la herramienta matemática para tomar partes de una cantidad es la multiplicación! Si quiero «la mitad de 20″, matemáticamente estoy diciendo: \(\frac{1}{2}\cdot 20=10\).
💡 Tip A+ Math: ¡El Diccionario del Detective!
¡Grábate esta regla de oro en tu libreta! Cada vez que leas en un problema las palabras «de», «del», «de los» o «de las», táchalas mentalmente y dibuja un enorme signo de multiplicación (\(\times\) o \(\cdot\)) en su lugar.
➡️ Ejemplo 1: Una cantidad entera
El profesor de Educación Física trajo 60 pelotas. Si los \(\frac{2}{3}\) de las pelotas son de fútbol, ¿cuántas pelotas de fútbol hay?
Resolución:
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Paso 1: Traducción
La frase clave es «los \(\frac{2}{3}\) de 60». Cambiamos la palabra «de» por el signo de multiplicar:\[\frac{2}{3}\cdot 60\] -
Paso 2: Simplificación y Operación
Recuerda que el 60 tiene un «1 invisible» abajo, así que multiplica al de arriba (numerador). Pero para hacerlo más rápido, podemos simplificar cruzado: dividimos el \(60\) entre el denominador \(3\), lo cual nos da \(20\). Luego multiplicamos por el de arriba: \(20\cdot 2\).\[\frac{2\cdot 60}{3}=2\cdot 20=40\] - Respuesta: Hay 40 pelotas de fútbol.
➡️ Ejemplo 2: Cadena de fracciones
Calcula la cuarta parte de los \(\frac{8}{5}\) de \(15\).
Resolución:
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Paso 1: Traducción total
Aquí tenemos varias cosas que traducir. «La cuarta parte» se escribe matemáticamente como \(\frac{1}{4}\). Luego, reemplazamos «de los» y «de» por multiplicaciones. Nos queda una cadena:\[\frac{1}{4}\cdot\frac{8}{5}\cdot 15\] -
Paso 2: Aplicamos la Simplificación Ninja
Antes de multiplicar todo de frente y crear números gigantes, vamos a tachar (simplificar) números de arriba con los de abajo:
• Al \(8\) de arriba y al \(4\) de abajo les sacamos cuarta. Nos queda un \(2\) arriba y un \(1\) abajo.
• Al \(15\) de arriba y al \(5\) de abajo les sacamos quinta. Nos queda un \(3\) arriba y un \(1\) abajo.\[\frac{1\cdot 2\cdot 3}{1\cdot 1}\] -
Paso 3: Multiplicamos lo que sobrevivió
En la parte de arriba (numeradores) solo nos queda \(1\cdot 2\cdot 3 = 6\). En la parte de abajo solo quedan unos. ¡El resultado es súper directo!\[6\]
Fracción de una Fracción
Ya sabemos que una fracción representa una parte de un todo. Pero, ¿qué pasa si nuestro «todo» ya es un pedazo cortado? Es decir, ¿qué sucede si queremos sacar una parte de algo que ya es una fracción? A esto lo llamamos Fracción de fracción, y es uno de los conceptos más visuales y geniales de las matemáticas.
💡 Tip A+ Math: ¡Magia visual!
Hallar la fracción de una fracción es como hacer un doble corte en un pastel. Como vimos en el tema anterior, la palabra «de» significa multiplicar. ¡Hoy vamos a demostrar con dibujos por qué esa multiplicación funciona a la perfección!
➡️ Comprobación Gráfica:
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Paso 1: El punto de partida
Observa el siguiente gráfico. Tenemos un rectángulo dividido en 3 filas iguales, y hemos pintado 2 de ellas. La fracción representada es \(\frac{2}{3}\). -
Paso 2: Cortando el pedazo
¿Qué pasaría si ahora esa parte que está sombreada la sacamos un momento, y la dividimos en 5 partes iguales trazando líneas hacia abajo?. Y de esas 5 nuevas columnas, solo queremos tomar 2 partes (pintadas de naranja oscuro). ¡Tendríamos los \(\frac{2}{5}\) de nuestro pedazo anterior! -
Paso 3: El gran final (El Todo)
Ahora regresemos lo obtenido al gráfico del principio y completemos las líneas. Observa que la parte más oscura representa la parte que tomamos al final: \(\frac{2}{5}\) de los \(\frac{2}{3}\) originales.Y si analizas bien el dibujo completo, el rectángulo entero ahora está dividido en 15 cuadritos en total, y nuestros cuadritos oscuros son exactamente 4. ¡Eso significa que nuestro resultado final es \(\frac{4}{15}\)!
¡La preposición «de» se convierte en «por» (\(\cdot\)), confirmando que la multiplicación hace el mismo trabajo que el dibujo!
➡️ Ejemplo 1: El salón de clases
En un salón de clases, \(\frac{2}{5}\) de los alumnos son mujeres y de ellas, \(\frac{1}{4}\) vienen a pie al colegio. ¿Qué fracción del salón son las mujeres que vienen a pie al colegio?
Resolución:
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Observa que lo que se pide es \(\frac{1}{4}\) de los \(\frac{2}{5}\) del salón. Traducimos ese «de» a multiplicación:
\[\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{5}\]
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Aplicamos nuestra simplificación ninja: sacamos mitad al \(2\) de arriba (queda \(1\)) y mitad al \(4\) de abajo (queda \(2\)).
\[\frac{1\cdot 1}{2\cdot 5}=\frac{1}{10}\]
- Respuesta: \(\frac{1}{10}\) del salón son mujeres que llegan a pie.
➡️ Ejemplo 2: El premio repartido
Un atleta ganó un premio en efectivo. Decidió guardar \(\frac{3}{4}\) del premio en el banco. De la parte que guardó, usó \(\frac{2}{9}\) para comprar zapatillas nuevas. ¿Qué fracción del premio original gastó en zapatillas?
Resolución:
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Analizamos el texto: gastó \(\frac{2}{9}\) de lo que guardó (que era \(\frac{3}{4}\)). Formamos nuestra ecuación cambiando el «de» por multiplicación:
\[\frac{2}{9}\cdot\frac{3}{4}\]
-
¡Hora de simplificar de forma cruzada para no trabajar con números grandes!
• Al \(2\) de arriba y al \(4\) de abajo les sacamos mitad (nos queda \(1\) arriba y \(2\) abajo).
• Al \(3\) de arriba y al \(9\) de abajo les sacamos tercia (nos queda \(1\) arriba y \(3\) abajo).\[\frac{1\cdot 1}{3\cdot 2}\] -
Multiplicamos los números pequeños que nos quedaron:
\[\frac{1}{6}\]Respuesta: Gastó \(\frac{1}{6}\) de su premio original en las zapatillas.
Ejercicio 1:
Efectúa las siguientes operaciones:
💡 Tip A+ Math: ¡El atajo de la división!
Recuerda que la palabra «de» siempre se traduce como el signo de multiplicar. Para resolver estos ejercicios súper rápido en tu mente, te recomiendo usar un atajo ninja: primero divide el número entero grande entre el número de abajo (denominador) y luego multiplica ese pequeño resultado por el número de arriba (numerador).
Resolución paso a paso:
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a) La cuarta parte de 200
Cambiamos la palabra «de» por la multiplicación. Luego, dividimos \(200\) entre el denominador \(4\) (que nos da \(50\)) y lo multiplicamos por el numerador \(1\):\[\frac{1}{4}\cdot 200=\frac{200}{4}=50\] -
b) Los dos séptimos de 42
Traducimos a multiplicación. Para hacerlo fácil, dividimos primero el \(42\) entre el denominador \(7\), lo que nos da \(6\). Finalmente, multiplicamos ese \(6\) por el numerador \(2\):\[\frac{2}{7}\cdot 42=2\cdot\left(\frac{42}{7}\right)=2\cdot 6=12\] -
c) Los tres quintos de 100
Convertimos a multiplicación. Dividimos \(100\) entre el denominador \(5\), obteniendo \(20\). Luego, multiplicamos ese \(20\) por el numerador \(3\):\[\frac{3}{5}\cdot 100=3\cdot\left(\frac{100}{5}\right)=3\cdot 20=60\]
Ejercicio 2:
Cosechando mis frutos
En un poblado de Huaral \(\frac{1}{12}\) de los habitantes cosechan naranjas, \(\frac{1}{4}\) cosechan palta, \(\frac{2}{9}\) cosechan manzanas y 240 habitantes que representan el resto de la población, se queda en casa.
💡 Tip A+ Math: ¡El poder del Todo!
Cuando trabajamos con fracciones, la población entera (el total) siempre representa la unidad, es decir, el número 1. Si sumas todas las partes en las que se dividió el pueblo, el resultado final debe ser 1 (que es lo mismo que decir \(\frac{5}{5}\), \(\frac{9}{9}\), etc.). ¡Usa este dato para descubrir cuánto vale el «resto» de la población!
Resolución paso a paso:
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Solución a) La situación del problema
La situación trata sobre cómo se distribuyen los habitantes de un poblado. Nos indica qué fracción de la población total se dedica a cosechar diferentes frutas (naranjas, paltas y manzanas) y nos da la cantidad exacta de personas que no cosechan y se quedan en casa. -
Solución b) Fracción de los 3 grupos
Para saber cuánto representan los 3 grupos de cosechadores juntos, debemos sumar sus fracciones: \(\frac{1}{12}\) (naranjas) + \(\frac{1}{4}\) (paltas) + \(\frac{2}{9}\) (manzanas).
Como son heterogéneas, hallamos el M.C.M. de los denominadores (12, 4 y 9), el cual es 36. Homogeneizamos cada fracción para que todas tengan 36 abajo:\[\frac{1\cdot 3}{12\cdot 3}+\frac{1\cdot 9}{4\cdot 9}+\frac{2\cdot 4}{9\cdot 4}\]\[\frac{3}{36}+\frac{9}{36}+\frac{8}{36}=\frac{20}{36}\]Simplificamos \(\frac{20}{36}\) sacando cuarta (dividimos entre 4 arriba y abajo), lo que nos da \(\frac{5}{9}\).
Rpta b: Los 3 grupos representan \(\frac{5}{9}\) de la población. -
Solución c) Total de habitantes
Si los que cosechan son \(\frac{5}{9}\) de la población, significa que si dividimos al pueblo en 9 partes, 5 están trabajando. Por lo tanto, las partes que faltan para completar el pueblo entero (\(\frac{9}{9}\)) son \(\frac{4}{9}\). Este \(\frac{4}{9}\) representa al «resto», es decir, a los 240 habitantes que se quedan en casa.
Armamos nuestra ecuación traduciendo «de» como multiplicación:\[\frac{4}{9}\cdot\text{Total}=240\]El 9 que está dividiendo pasa a multiplicar, y el 4 pasa a dividir:\[\text{Total}=\frac{240\cdot 9}{4}\]Simplificamos el 240 con el 4 (240 ÷ 4 = 60), y luego multiplicamos \(60\cdot 9 = 540\).
Rpta c: La población total tiene 540 habitantes. -
Solución d) Verificando la diferencia
Ahora que sabemos que el total es 540, calculemos cuántas personas cosechan paltas y cuántas naranjas aplicando nuestra multiplicación:
• Paltas: \(\frac{1}{4}\) de \(540\) → \(\frac{1}{4}\cdot 540 = \frac{540}{4} = 135\) personas.
• Naranjas: \(\frac{1}{12}\) de \(540\) → \(\frac{1}{12}\cdot 540 = \frac{540}{12} = 45\) personas.
Nos preguntan si la diferencia (resta) entre ambos es de 70. Vamos a restar:\[135 – 45 = 90\]Rpta d: No es 70. Al verificarlo, descubrimos que la diferencia real es de 90 personas.
Ejercicio 3:
Las compras del restaurante
Alejandro tiene un restaurante y necesita comprar ingredientes. Va al mercado a comprar fruta por S/60, verdura por S/120, pollo por S/240 y papa por S/180. ¿Qué fracción de la compra corresponde a cada alimento?
💡 Tip A+ Math: ¡Primero descubre el Todo!
Recuerda nuestra fórmula mágica: \(\frac{\text{Parte}}{\text{Todo}}\). El problema nos da las «Partes» (lo que costó cada alimento), pero no nos dice cuánto es el «Todo». ¡Ese es nuestro primer trabajo de detectives! Suma todos los gastos para descubrir el costo total de la compra. Ese número será tu denominador para todas las fracciones.
Resolución paso a paso:
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Paso 1: Calculamos el Todo (Gasto Total)
Sumamos el costo de todos los alimentos que compró Alejandro:\[\text{Total}=60+120+240+180\] \[\text{Total}=600\]¡Genial! El gasto total fue de S/600. Este número irá en la parte de abajo de todas nuestras fracciones. -
Paso 2: Armamos y simplificamos cada fracción
Ahora colocamos el gasto de cada alimento arriba (Numerador) y los 600 abajo (Denominador). Un truco rápido para simplificar es «tachar los ceros» del final (eso equivale a sacar décima a ambos números).
🥕 Verdura: Gastó S/120. La fracción es \(\frac{120}{600}\). Tachamos un cero arriba y uno abajo: queda \(\frac{12}{60}\). Le sacamos doceava (dividimos entre 12 arriba y abajo) y nos da:\[\frac{1}{5}\]🍎 Fruta: Gastó S/60. La fracción es \(\frac{60}{600}\). Tachamos ceros: queda \(\frac{6}{60}\). Sacamos sexta (dividimos entre 6):\[\frac{1}{10}\]🥔 Papa: Gastó S/180. La fracción es \(\frac{180}{600}\). Tachamos ceros: queda \(\frac{18}{60}\). Ambos números están en la tabla del 6, así que sacamos sexta:\[\frac{3}{10}\]🍗 Pollo: Gastó S/240. La fracción es \(\frac{240}{600}\). Tachamos ceros: queda \(\frac{24}{60}\). Sacamos doceava (dividimos entre 12):\[\frac{2}{5}\] -
Solución Final
Las fracciones simplificadas correspondientes a cada alimento son:- Verdura: \(\frac{1}{5}\)
- Fruta: \(\frac{1}{10}\)
- Papa: \(\frac{3}{10}\)
- Pollo: \(\frac{2}{5}\)
Ejercicio 4:
El viaje del automovilista
Un automovilista tiene que recorrer \(640\text{ km}\) en 4 días. El primer día recorre \(\frac{1}{4}\) de la distancia, el segundo día recorre \(\frac{3}{8}\) del resto y el tercer día \(\frac{1}{3}\) del nuevo resto. ¿Cuánto camino debe recorrer el cuarto día?
💡 Tip A+ Math: ¡Cuidado con la trampa del «resto»!
Muchos estudiantes cometen el error de sacar todas las fracciones del número total (\(640\)). ¡Pero fíjate bien en el texto! La palabra «resto» nos dice que debemos ir restando lo que ya se recorrió, y sacar la nueva fracción solamente de los kilómetros que sobran en ese momento. ¡Vamos paso a paso para no perdernos!
Resolución paso a paso:
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Paso 1: El primer día
El texto dice que recorre \(\frac{1}{4}\) de la distancia total (\(640\)). Traducimos la palabra «de» a multiplicación y usamos nuestro atajo de dividir primero:\[\text{Avanza}=\frac{1}{4}\cdot 640=\frac{640}{4}=160\text{ km}\]Ahora calculamos el primer resto (lo que le falta por recorrer). Restamos el total menos lo que ya avanzó:\[\text{Resto 1}: 640 – 160 = 480\text{ km}\] -
Paso 2: El segundo día
Avanza \(\frac{3}{8}\) del resto. ¡Atención! No usamos \(640\), usamos nuestro «Resto 1» (\(480\)):\[\text{Avanza}=\frac{3}{8}\cdot 480=3\cdot\left(\frac{480}{8}\right)=3\cdot 60=180\text{ km}\]Calculamos el nuevo resto. A los \(480\) que le faltaban, le restamos estos nuevos \(180\) que acaba de avanzar:\[\text{Resto 2}: 480 – 180 = 300\text{ km}\] -
Paso 3: El tercer día
Avanza \(\frac{1}{3}\) del nuevo resto (\(300\)):\[\text{Avanza}=\frac{1}{3}\cdot 300=\frac{300}{3}=100\text{ km}\]Calculamos el resto final. Tenía \(300\) por delante y avanzó \(100\):\[\text{Resto Final}: 300 – 100 = 200\text{ km}\] -
Paso 4: El cuarto día
Ese «resto final» que acabamos de hallar es exactamente la distancia que le sobró para recorrer en su último día de viaje.
Respuesta: El cuarto día debe recorrer \(200\text{ km}\).
Ejercicio 5:
El terreno de los hermanos
Si los \(\frac{5}{9}\) de un terreno que pertenecen a un hermano, están valorizados en \(50\text{ mil}\) dólares, ¿en cuánto está valorizada la parte que le pertenece al otro hermano?
💡 Tip A+ Math: ¡El método de la pieza única!
Este misterio se puede resolver de dos formas. La primera es descubriendo el precio de todo el terreno y luego sacando la parte del otro hermano. ¡Pero hay un atajo ninja! Si descubres cuánto vale una sola parte (fracción unitaria), multiplicar por lo que le toca al otro hermano será pan comido. ¡Vamos a ver ambas lógicas!
Resolución paso a paso:
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Paso 1: ¿Cuánto terreno tiene el otro hermano?
Sabemos que el terreno completo está dividido en 9 partes iguales (eso nos dice el denominador), así que el total es \(\frac{9}{9}\). Si el primer hermano tiene \(\frac{5}{9}\), restamos para saber qué le toca al otro:\[\text{Segundo hermano}: \frac{9}{9} – \frac{5}{9} = \frac{4}{9}\]Nuestro objetivo es descubrir cuánto cuestan esos \(\frac{4}{9}\). -
Paso 2: Descubrimos el valor total (Método Clásico)
Armamos nuestra ecuación con el primer hermano. Sabemos que los \(\frac{5}{9}\) «del» total cuestan \(50,000\):\[\frac{5}{9}\cdot\text{Total}=50,000\]Despejamos: el 9 pasa a multiplicar y el 5 pasa a dividir:\[\text{Total}=\frac{50,000\cdot 9}{5}\]Simplificamos el \(50,000\) con el \(5\) (que nos da \(10,000\)), y luego \(10,000\cdot 9 = 90,000\). ¡El terreno completo vale S/90,000! -
Paso 3: Calculamos la parte del otro hermano
Como el segundo hermano es dueño de \(\frac{4}{9}\) del terreno total, operamos:\[\frac{4}{9}\cdot 90,000=4\cdot\left(\frac{90,000}{9}\right)=4\cdot 10,000=40,000\]Respuesta: La parte del otro hermano está valorizada en 40 mil dólares. -
¡El Atajo Lógico (Nivel Experto)!
Si 5 partes (las del primer hermano) cuestan 50,000, significa que 1 sola parte cuesta 10,000 (\(50,000 \div 5\)).
Como el otro hermano tiene 4 partes, solo multiplicamos \(4\cdot 10,000 = 40,000\). ¡Llegas a la misma respuesta en la mitad del tiempo!
Ejercicio 6:
La deuda de Juan
Juan le debe a Pedro S/. 240. Si le paga \(\frac{3}{5}\) de esta deuda, entonces, ¿cuánto le debería?
💡 Tip A+ Math: ¡Lee bien la pregunta con lupa!
En los problemas de matemáticas, siempre hay que fijarse muy bien en lo que nos piden. Aquí nos dan el dato de lo que Juan paga, pero la pregunta es sobre cuánto le falta pagar (cuánto debe todavía). Puedes resolverlo de dos formas: calculando lo que pagó y restándolo, o usando directamente la fracción de lo que le sobra. ¡Veamos los dos caminos!
Resolución paso a paso:
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Camino 1: Calculando el pago y restando
Primero averiguamos cuánto dinero le entregó Juan a Pedro. Sabemos que pagó los \(\frac{3}{5}\) de S/. 240. Traducimos ese «de» a multiplicación:\[\text{Pago}=\frac{3}{5}\cdot 240=3\cdot\left(\frac{240}{5}\right)=3\cdot 48=144\]Juan entregó S/. 144. Para saber cuánto debe aún, le restamos ese pago al total de la deuda original:\[\text{Deuda final}: 240 – 144 = 96\] -
Camino 2: El atajo de las fracciones (Nivel Ninja)
Piensa en esto: si la deuda se divide en 5 partes iguales y Juan ya pagó 3 partes (\(\frac{3}{5}\)), ¿cuántas partes le faltan pagar? ¡Exacto! Le faltan 2 partes (\(\frac{2}{5}\)).
Así que podemos calcular directamente lo que debe buscando los \(\frac{2}{5}\) de la deuda:\[\text{Deuda final}=\frac{2}{5}\cdot 240=2\cdot\left(\frac{240}{5}\right)=2\cdot 48=96\]Respuesta: Juan todavía le debería S/. 96 a Pedro.
Ejercicio 7:
Los ahorros de Matías
Matías tiene S/. 600. El lunes gasta \(\frac{2}{5}\) de su dinero y el martes los \(\frac{2}{3}\) de lo que le sobró. ¿Cuánto dinero le quedó para el miércoles?
💡 Tip A+ Math: ¡La trampa de «lo que sobró»!
Este es un problema clásico de gastos sucesivos. ¡Mucho ojo! El martes no gasta \(\frac{2}{3}\) del total original (\(600\)), sino \(\frac{2}{3}\) de «lo que le sobró» del día anterior. Siempre debemos ir calculando ese «nuevo resto» paso a paso para no caer en la trampa.
Resolución paso a paso:
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Paso 1: Los gastos del Lunes
Matías gasta \(\frac{2}{5}\) de sus S/. 600. Calculamos cuánto es eso traduciendo la palabra «de» a multiplicación:\[\text{Gasto lunes}=\frac{2}{5}\cdot 600=2\cdot\left(\frac{600}{5}\right)=2\cdot 120=240\]Si gastó \(240\), debemos restar para saber cuánto le sobra para el día siguiente:\[\text{Sobra (Resto 1)}: 600 – 240 = 360\] -
Paso 2: Los gastos del Martes
El martes gasta \(\frac{2}{3}\) de lo que le sobró. ¡Usamos nuestro nuevo total de \(360\)!\[\text{Gasto martes}=\frac{2}{3}\cdot 360=2\cdot\left(\frac{360}{3}\right)=2\cdot 120=240\]Matías gastó otros \(240\). Restamos nuevamente para ver con cuánto dinero se queda al final del día:\[\text{Sobra final}: 360 – 240 = 120\]Respuesta: Para el miércoles le quedaron S/. 120. -
¡El Atajo Ninja (Nivel Experto)!
En lugar de calcular lo que gasta, ¡podemos calcular directamente lo que le queda!
• Si el lunes gastó \(\frac{2}{5}\), le quedaron \(\frac{3}{5}\) de su dinero.
• Si el martes gastó \(\frac{2}{3}\), le quedó \(\frac{1}{3}\) de ese nuevo resto.
Podemos hallar el monto final en una sola línea multiplicando las fracciones que sobran por el total:\[\text{Lo que queda}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{5}\cdot 600\]Aplicamos simplificación ninja: cancelamos el \(3\) de arriba con el \(3\) de abajo. Nos queda directamente \(\frac{1}{5}\cdot 600\), que es igual a \(120\). ¡Llegamos a la misma respuesta súper rápido!
Ejercicio 8:
Las notas de Bachillerato
En un aula de Bachillerato de 80 estudiantes, \(\frac{15}{16}\) de los alumnos aprobaron el curso. Por otro lado, \(\frac{2}{5}\) de todos los estudiantes obtuvieron una nota aprobatoria en Matemática superior al promedio mundial.
💡 Tip A+ Math: ¡El Todo siempre es 1!
Cuando un problema te pide hallar la fracción que falta (en este caso, los que «no» aprobaron), recuerda que el salón completo (el total) representa la unidad entera (1). Si el denominador del problema es 16, tu total será \(\frac{16}{16}\). ¡Solo tienes que restar! Y para la segunda parte, no olvides nuestro truco de cambiar la palabra «de» por una multiplicación.
Resolución paso a paso:
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Solución a) La fracción de los desaprobados
Sabemos que los alumnos que aprobaron representan los \(\frac{15}{16}\) del aula. El aula completa está dividida en 16 partes, así que el total es \(\frac{16}{16}\). Para saber quiénes no aprobaron, simplemente restamos esa parte del todo:\(\text{No aprobaron}=\frac{16}{16}-\frac{15}{16}=\frac{1}{16}\)Rpta a: La fracción de alumnos que no aprobó es \(\frac{1}{16}\). -
Solución b) Alumnos con nota superior
El problema nos dice que \(\frac{2}{5}\) de todos los estudiantes (que en total son 80) obtuvieron una nota superior. Traducimos ese «de» a una multiplicación y usamos nuestro atajo ninja de dividir primero y multiplicar después:\(\text{Nota superior}=\frac{2}{5}\cdot 80=2\cdot\left(\frac{80}{5}\right)=2\cdot 16=32\)Rpta b: 32 alumnos tuvieron una nota superior al promedio mundial.
Ejercicio 9:
El examen del salón
En un salón de clases de 40 alumnos, cierto examen es aprobado por 25 alumnos.
💡 Tip A+ Math: ¡Parte y Todo!
Recuerda nuestra fórmula estrella: \(\frac{\text{Parte}}{\text{Todo}}\). El «Todo» es la cantidad total de alumnos en el salón, y la «Parte» es el grupo específico que estamos investigando (los que aprobaron o los que desaprobaron). ¡Ah! Y como buen detective, nunca olvides simplificar tu fracción final hasta que sea irreductible.
Resolución paso a paso:
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Solución a) Fracción de aprobados
Identificamos nuestros datos: el total del salón es 40 alumnos (Todo) y los que aprobaron son \(25\) alumnos (Parte). Armamos nuestra fracción:\(\text{Aprobados}=\frac{25}{40}\)Simplificamos sacando quinta (dividimos entre \(5\) al número de arriba y al de abajo):\(\frac{25 \div 5}{40 \div 5}=\frac{5}{8}\)Rpta a: La fracción del salón que ha aprobado es \(\frac{5}{8}\). -
Solución b) Fracción de desaprobados
Primero averiguamos cuántos alumnos desaprobaron. Si de 40 alumnos, 25 aprobaron, entonces el resto desaprobó: 40 – 25 = 15 alumnos.
Ahora armamos la fracción con esta nueva «Parte» y el mismo «Todo»:\(\text{Desaprobados}=\frac{15}{40}\)Volvemos a simplificar sacando quinta:\(\frac{15 \div 5}{40 \div 5}=\frac{3}{8}\)Rpta b: La fracción del salón que ha desaprobado es \(\frac{3}{8}\).
(Atajo Ninja: Si ya sabíamos que \(\frac{5}{8}\) aprobaron, lo que falta para completar el salón entero de \(\frac{8}{8}\) son exactamente \(\frac{3}{8}\). ¡Magia deductiva!)
Ejercicio 10:
El terreno cuadrado
El lado de un terreno cuadrado mide \(3 \frac{3}{4}\text{ m}\). ¿Cuánto mide el perímetro y el área del terreno?
💡 Tip A+ Math: ¡Transforma antes de operar!
Nunca intentes multiplicar o potenciar un número mixto directamente. El primer paso de un detective matemático siempre será convertirlo a una fracción impropia (multiplicas el número grande por el de abajo, le sumas el de arriba, y mantienes el mismo denominador).
Además, recuerda tus fórmulas de geometría: el Perímetro es la suma del contorno (\(4 \cdot \text{Lado}\)) y el Área es la superficie (\(\text{Lado}^2\)).
Resolución paso a paso:
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Paso 1: Convertir el número mixto
Convertimos la medida del lado a una fracción normal para poder operar con ella:\(L = 3 \frac{3}{4} = \frac{(3 \cdot 4) + 3}{4} = \frac{12 + 3}{4} = \frac{15}{4}\text{ m}\)¡Listo! Ahora sabemos que el lado mide exactamente \(\frac{15}{4}\text{ m}\). -
Solución a) El Perímetro (P)
El perímetro de un cuadrado se halla multiplicando su lado por 4 (ya que tiene 4 lados iguales).\(P = 4 \cdot \left(\frac{15}{4}\right)\)Aquí aplicamos nuestra simplificación ninja: como tenemos un 4 multiplicando arriba y un 4 dividiendo abajo, ¡se cancelan!\(P = 15\text{ m}\)Rpta a: El perímetro mide \(15\text{ m}\). -
Solución b) El Área (A)
El área de un cuadrado se halla elevando su lado al cuadrado (\(\text{Lado}^2\)). Usaremos nuestro conocimiento reciente sobre potenciación de fracciones: elevamos el numerador y el denominador.\(A = \left(\frac{15}{4}\right)^2 = \frac{15^2}{4^2}\)Calculamos las potencias (\(15 \cdot 15\) y \(4 \cdot 4\)):\(A = \frac{225}{16}\text{ m}^2\)Rpta b: El área mide \(\frac{225}{16}\text{ m}^2\).
(Nota: No olvides que el perímetro se mide en unidades normales como metros, pero el área siempre se expresa en unidades cuadradas como \(\text{m}^2\)).
¡Misión Cumplida, Detectives A+! 🎓
Hoy has demostrado ser un verdadero Detective Matemático. Ya no solo resuelves operaciones frías en un papel, ¡ahora sabes aplicar las fracciones a la vida real! Has aprendido a traducir palabras a operaciones matemáticas y a descubrir el valor de una parte respecto a un todo. ¡Estás listo para resolver cualquier misterio o cuenta en tu día a día!
¿Sabías que la línea horizontal que separa el numerador del denominador se llama «vínculo»? Fue utilizada por los matemáticos árabes hace cientos de años, pero se hizo muy popular en Europa gracias al famoso matemático Fibonacci. Antes de eso, las fracciones en la India se escribían poniendo el numerador arriba del denominador… ¡pero sin ninguna línea que los separara! Imaginarlos flotando hace que apreciemos mucho más la claridad que nos da esa pequeña rayita hoy en día.
🔋 Próximo Nivel: Los Números Decimales
¡Nuestra aventura numérica continúa! En el próximo nivel conoceremos a los primos hermanos de las fracciones: los Números Decimales. Descubriremos que son otra forma (¡muy útil y moderna!) de representar pedacitos de un número entero. Si lograste entender a la perfección cómo funcionan las fracciones, ¡dominar los números con coma será pan comido para ti!
Un pequeño vistazo a nuestros próximos superpoderes:
Fracciones Disfrazadas
Lectura y Escritura Decimal
Prepárate para seguir sumando conocimientos, porque el mundo de los decimales nos facilitará mucho los cálculos de la vida diaria y financiera. ¡Nos vemos en el próximo módulo para seguir esta gran aventura matemática A+!