Operaciones con Números Decimales
Por Joao / 23 de julio de 2026
Introducción a las Operaciones con Números Decimales
¡Felicidades por llegar hasta aquí, Detectives A+! Ya conocemos el secreto de los números decimales, sus familias y cómo nacen a partir de las fracciones. Ahora ha llegado el momento de dar el paso más emocionante: ¡ponerlos en acción! En la vida diaria, raramente vemos números aislados. Cuando vas a la bodega o al supermercado a comprar tus snacks favoritos, cuando mides tu estatura exacta en metros, o cuando calculas el tiempo exacto en una carrera de velocidad, ¡estás realizando operaciones con números decimales!
Sumar, restar, multiplicar y dividir decimales nos da una precisión matemática absoluta que los números enteros no nos pueden dar. Aunque a primera vista parezca que la coma (,) nos complica el camino, en realidad funciona como una brújula perfecta: si aprendemos a alinearla y a moverla en el momento adecuado, ¡podrás resolver cualquier cálculo de dinero, medidas y compras en segundos y sin cometer errores!
Nuestros Objetivos A+ en este capítulo:
- 1. Suma y Resta Alineada: Dominaremos la «regla de oro» de la alineación vertical de la coma para sumar y restar decimales con total precisión, asegurándonos de operar siempre décimos con décimos y centésimos con centésimos.
- 2. Multiplicación Dinámica: Aprenderemos a multiplicar decimales como si fueran enteros y utilizaremos el conteo de cifras decimales para colocar la coma en la posición exacta del resultado final.
- 3. División Ninja y Potencias de 10: Descubriremos el truco de «eliminar la coma» en el divisor para resolver divisiones complejas con facilidad, además de dominar el superpoder de multiplicar y dividir instantáneamente por 10, 100 o 1000 corriendo la coma.
«En el mundo real, la precisión lo es todo. ¡Aprender a operar con decimales te dará el superpoder de calcular presupuestos, vueltos y medidas con exactitud perfecta!» — A+ Mathmentor
Saberes Previos
💡 Tip A+ Math: ¡Maestros de las Fracciones!
Antes de dominar las operaciones con números decimales, debemos asegurarnos de que nuestros poderes con las fracciones estén al máximo. Recuerda los trucos infalibles: homogeneizar para sumar o restar, operar «frente a frente» en la multiplicación, y el famoso método del «sándwich» (o extremos y medios) para divisiones de varios pisos. ¡Y siempre, siempre simplifica antes de operar cuando sea posible!
Vamos a calentar motores recordando juntos paso a paso estas operaciones de tu manual de entrenamiento:
1. Efectuar: \(\frac{5}{2} + \frac{3}{4}\)
Como los números de abajo (denominadores) son diferentes, lo más fácil es homogeneizar. El \(4\) está en la tabla del \(2\), así que multiplicaremos tanto el numerador como el denominador de la primera fracción por \(2\):
¡Ahora que tienen el mismo denominador, solo sumamos los de arriba y copiamos el mismo piso! Resultado: \(\frac{13}{4}\).
2. Efectuar: \(\frac{7}{4} \times \frac{8}{21}\)
En la multiplicación operamos «frente a frente». ¡Pero un buen detective simplifica cruzado primero para no tener números gigantes!
- Sacamos séptima al \(7\) y al \(21\) (dividimos ambos entre \(7\)). Nos queda \(1\) arriba y \(3\) abajo.
- Sacamos cuarta al \(8\) y al \(4\) (dividimos ambos entre \(4\)). Nos queda \(2\) arriba y \(1\) abajo.
Multiplicamos lo que nos quedó frente a frente: \(\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3} =\) \(\frac{2}{3}\).
3. Efectuar: \(\frac{12}{25} \div \frac{18}{15}\)
Para dividir, usamos el truco de «voltear y multiplicar». Dejamos la primera fracción igual, cambiamos el símbolo de división por el de multiplicación y volteamos la segunda fracción:
Antes de multiplicar, simplificamos en cruz:
• Sacamos quinta (dividimos entre \(5\)) al \(15\) y al \(25\). Quedan \(3\) y \(5\).
• Sacamos sexta (dividimos entre \(6\)) al \(12\) y al \(18\). Quedan \(2\) y \(3\).
Como \(\frac{3}{3}\) equivale a \(1\) entero, solo nos queda la primera fracción. El resultado final es \(\frac{2}{5}\).
4. Efectuar: \(\frac{\frac{5}{9}}{\frac{4}{12}}\)
¡Una torre de fracciones! Aplicamos el método del sándwich (extremos y medios). Multiplicamos los números de los extremos (el de más arriba y el de más abajo: \(5\) y \(12\)) para nuestro nuevo numerador, y luego los del medio (\(9\) y \(4\)) para nuestro nuevo denominador:
¡Simplificamos los números de arriba con los de abajo!
• Sacamos cuarta (entre \(4\)) al \(12\) de arriba y al \(4\) de abajo. Nos queda: \(\frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 1}\).
• Ahora sacamos tercia (entre \(3\)) al \(3\) de arriba y al \(9\) de abajo. Nos queda: \(\frac{5 \cdot 1}{3 \cdot 1}\).
Resultado: \(\frac{5}{3}\).
5. Efectuar: \(\frac{11}{9} – \frac{5}{6}\)
Es una resta de fracciones heterogéneas. Primero buscamos el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los denominadores \(9\) y \(6\), que es \(18\).
Ahora homogeneizamos: vamos a convertir ambas fracciones multiplicando numerador y denominador para que ambas tengan el \(18\) abajo.
• A la primera fracción la multiplicamos arriba y abajo por \(2\).
• A la segunda fracción la multiplicamos arriba y abajo por \(3\).
Ahora que tienen el mismo piso, solo restamos los numeradores: \(\frac{22 – 15}{18}\). Resultado: \(\frac{7}{18}\).
Adición y Sustracción de Números Decimales
Sumar y restar números decimales es casi tan fácil como hacerlo con números enteros, pero tenemos que ser muy ordenados. Dependiendo de si los decimales tienen fin (exactos) o no (inexactos), aplicaremos una estrategia diferente. ¡Ponte tu lupa de detective y vamos a descubrir las reglas!
1. Cuando son Decimales Exactos
💡 Tip A+ Math: ¡La regla de la Coma Alineada!
El mayor secreto para sumar o restar decimales es escribir un número debajo del otro cuidando que la coma decimal forme una línea recta vertical perfecta. Si un número tiene menos cifras decimales que otro, ¡simplemente rellena los espacios vacíos con ceros!
Ejemplo: Efectuar \(7,3 + 15,18 + 2,0156\)
Pasos de la operación:
- El número con más cifras decimales es \(2,0156\) (tiene 4 cifras).
- Completamos con ceros a la derecha los demás números para que todos tengan 4 cifras decimales: \(7,3000\) y \(15,1800\). ¡Ojo, esto no cambia su valor!
- Los escribimos uno debajo del otro, alineando la coma perfectamente.
- Sumamos de derecha a izquierda como si fueran números enteros normales y, al final, dejamos caer la coma en la misma columna vertical.
2. Cuando son Decimales Inexactos
Si intentamos sumar números infinitos (como \(0,333…\) con \(2,555…\)) no podríamos alinearlos porque nunca terminan. ¡Pero tenemos un arma secreta! Transformamos cada decimal en su Fracción Generatriz, sumamos las fracciones con nuestros trucos ninja y luego volvemos a convertir el resultado a decimal.
Ejemplo: Efectuar \(0,\widehat{3} + 2,\widehat{5} + 1,\widehat{6}\)
-
Paso 1: Convertimos a fracción generatriz. Como son periódicos puros, usamos nueves:
- \(0,\widehat{3} = \frac{3}{9}\)
- \(2,\widehat{5} = \frac{25 – 2}{9} = \frac{23}{9}\)
- \(1,\widehat{6} = \frac{16 – 1}{9} = \frac{15}{9}\)
-
Paso 2: Sumamos las fracciones. ¡Qué suerte, son homogéneas (tienen el mismo piso)! Solo sumamos los numeradores:
\[\frac{3}{9} + \frac{23}{9} + \frac{15}{9} = \frac{3 + 23 + 15}{9} = \frac{41}{9}\]
-
Paso 3: Convertimos de vuelta a decimal dividiendo el numerador entre el denominador (\(41 \div 9\)):
\[\frac{41}{9} = 4,555… = \mathbf{4,\widehat{5}}\]
Multiplicación de Números Decimales
¡Llegó la hora de multiplicar, Detectives! Multiplicar decimales es un truco de magia matemática. Al principio, fingiremos que las comas no existen y luego las haremos reaparecer en el resultado final. Como siempre, dividiremos nuestra estrategia en dos casos: decimales exactos y decimales inexactos (infinitos).
1. Cuando son Decimales Exactos
💡 Tip A+ Math: ¡El salto de la coma!
Para multiplicar, opera exactamente igual que si fueran números enteros. Al final, solo tienes que contar cuántas cifras decimales hay en total entre los dos números que multiplicaste. ¡Esa será la cantidad de saltos que dará la coma en tu respuesta, de derecha a izquierda!
Ejemplo: Efectuar \(32,73 \times 2,6\)
Pasos de la operación:
- Multiplicamos \(3273 \times 26\) ignorando las comas, como si fueran números enteros. Obtenemos 85098.
- Contamos las cifras decimales: 32,73 tiene dos cifras y 2,6 tiene una. En total son tres cifras decimales.
- En nuestro resultado (85098), corremos la coma tres espacios de derecha a izquierda. ¡El resultado mágico es \(85,098\)!
2. Cuando son Decimales Inexactos
Los números con sombrerito (infinitos) son muy escurridizos para multiplicarlos directamente. ¡La regla de oro aquí es convertirlos primero en su fracción generatriz!
Ejemplo: Efectuar \(3,\widehat{3} \times 0,0\widehat{9}\)
-
Paso 1: Convertimos a fracción:
- \(3,\widehat{3} = \frac{33 – 3}{9} = \mathbf{\frac{30}{9}}\) (Periódico puro)
- \(0,0\widehat{9} = \frac{09 – 0}{90} = \mathbf{\frac{9}{90}}\) (Periódico mixto)
-
Paso 2: Multiplicamos las fracciones resultantes:
\[\frac{30}{9} \times \frac{9}{90}\]Simplificamos cruzado (eliminamos el 9 de arriba con el 9 de abajo, y simplificamos los ceros del 30 y 90):\[= \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\]
- Paso 3: Convertimos el resultado de vuelta a decimal: \(\frac{1}{3} = \mathbf{0,\widehat{3}}\).
División de Números Decimales
¡Dividir decimales puede sonar aterrador, pero tenemos una estrategia maestra! El truco está en transformarlos en números enteros antes de empezar a dividir.
💡 Tip A+ Math: ¡Destruye las comas!
Para que la coma desaparezca, multiplicamos el dividendo (el primer número) y el divisor (el segundo número) por 10, 100 o 1000 (la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número más largo). ¡Así operaremos cómodamente solo con números enteros!
Ejemplo: Efectuar \(13,5 \div 7\)
Pasos de la operación:
- Multiplicamos 13,5 y 7 por 10 para que el decimal desaparezca. Ahora la división será \(135 \div 70\). ¡Ambos son números enteros!
- Dividimos normalmente: 135 entre 70 cabe 1 vez (\(70 \times 1 = 70\)). Restamos y nos sobran 65.
- Para seguir dividiendo, ponemos la coma en el cociente y agregamos un cero mágico (en rojo) formando el 650.
- Repetimos el proceso paso a paso, alineando nuestras restas perfectamente, unidad con unidad y decena con decena. ¡Nuestro resultado es \(1,92…\)
División de Decimales Inexactos
Al igual que en la multiplicación, si tenemos decimales periódicos, no podemos simplemente operarlos. Primero hallaremos su fracción generatriz y aplicaremos el truco de la «orejita» o el de «voltear y multiplicar».
Ejemplo: Efectuar \(0,\widehat{5} \div 0,1\widehat{6}\)
-
Paso 1: Convertimos a fracción generatriz:
- \(0,\widehat{5} = \mathbf{\frac{5}{9}}\)
- \(0,1\widehat{6} = \frac{16 – 1}{90} = \mathbf{\frac{15}{90}}\)
-
Paso 2: Reemplazamos y dividimos (volteando la segunda fracción para multiplicar):
\[\frac{5}{9} \div \frac{15}{90} = \frac{5}{9} \times \frac{90}{15}\]Simplificamos en aspa (novena de 9 y 90; quinta de 5 y 15):\[= \frac{1 \cdot 10}{1 \cdot 3} = \frac{10}{3}\]
-
Paso 3: Convertimos el resultado dividiendo \(10 \div 3\):
\[\frac{10}{3} = 3,333… = \mathbf{3,\widehat{3}}\]
Ejercicios Resueltos: ¡Entrenamiento A+!
¡A la práctica, Detectives! En esta sección vamos a efectuar paso a paso las operaciones que se indican. Presta mucha atención a los números y símbolos de color rojo, ya que son los «trucos» (ceros agregados, movimientos de coma) que nos ayudarán a no cometer errores.
1. Efectuar: \(0,5 + 14,5\)
1º Alineamos las comas.
2º Sumamos \(5 + 5 = 10\). Colocamos el \(0\) y llevamos 1.
3º Sumamos \(0 + 4 + \mathbf{1} = 5\). Bajamos la coma en la misma columna. ¡Listo! El resultado es \(15,0\) (que es lo mismo que \(15\)).
2. Efectuar: \(5,63 – 3,07\)
1º Escribimos un número bajo el otro alineando la coma.
2º Como no podemos restar \(3 – 7\), el \(6\) le presta 1 y se convierte en \(5\). El \(3\) se vuelve 13.
3º Restamos: \(13 – 7 = 6\) ; luego \(5 – 0 = 5\) ; y finalmente \(5 – 3 = 2\). ¡El resultado es \(2,56\)!
3. Efectuar: \(12,6 + 4,3\)
Al ubicar el \(4,3\), asegúrate de que el \(4\) quede debajo del \(2\) (unidades con unidades) para que la coma siga formando una línea recta. Sumamos directamente y obtenemos \(16,9\).
4. Efectuar: \(2,3 \times 1,5\)
1º Multiplicamos como si no hubiera coma: \(23 \times 15 = 345\).
2º Contamos los decimales: el primer número tiene 1 decimal y el segundo tiene 1 decimal. Sumamos y obtenemos 2 cifras decimales en total.
3º Ubicamos la coma en el resultado contando dos espacios desde la derecha: \(3,45\).
5. Efectuar: \(1,44 \div 0,9\)
1º El número con más decimales es \(1,44\) (tiene dos). Para quitar las comas, multiplicamos ambos números por \(100\). Ojo con el \(0,9\): al multiplicarlo por \(100\), le agregamos un cero para completar, formando \(90\).
2º Dividimos los números enteros: \(144 \div 90\). Cabe \(1\) vez y sobran \(54\).
3º Ponemos la coma en el cociente y agregamos un cero mágico (0) al residuo, volviéndolo \(540\). \(540 \div 90 = 6\) exacto. ¡El resultado es \(1,6\)!
Ejercicio 1:
En los siguientes ejercicios, efectuar las operaciones que se indican:
💡 Tip A+ Math: ¡Detectives organizados!
Recuerda que para sumar y restar, la coma siempre debe estar alineada en una columna perfecta. Para multiplicar, contamos decimales al final; y para dividir, ¡las comas desaparecen multiplicando por \(10, 100\) o \(1000\)! Presta mucha atención a los números y trazos rojos: son nuestros trucos (ceros mágicos o «llevadas») para no fallar jamás en el orden.
Resolución paso a paso:
-
1) Analizando: \(0,5 + 14,5\)
1º Alineamos las comas.
2º Sumamos la columna derecha: \(5 + 5 = 10\). Colocamos el \(0\) y llevamos 1.
3º Sumamos las unidades: \(0 + 4 + \mathbf{1} = 5\). El \(1\) de las decenas baja directo.
4º Bajamos la coma en su línea. Resultado: \(15,0\) (que equivale exactamente a \(15\)). -
2) Analizando: \(5,63 – 3,07\)
Alineamos. Como a \(3\) no le podemos quitar \(7\), el \(6\) le presta 1 y se convierte en \(5\). El \(3\) se vuelve 13. Restamos columna por columna: \(13 – 7 = 6\). Luego \(5 – 0 = 5\). Por último \(5 – 3 = 2\). Resultado: \(2,56\).
-
3) Analizando: \(12,6 + 4,3\)
Alineamos cuidadosamente. Observa cómo el \(4\) queda exactamente debajo del \(2\) (unidades con unidades) para que la coma no pierda su línea recta. Sumamos directo. Resultado: \(16,9\).
-
4) Analizando: \(2,3 \times 1,5\)
1º Multiplicamos ignorando la coma: \(23 \times 15 = 345\).
2º Contamos los decimales: el primer número tiene 1 decimal y el segundo 1 decimal. Sumamos: 2 cifras en total.
3º Ubicamos la coma en el resultado contando dos saltos desde la derecha. Resultado: \(3,45\). -
5) Analizando: \(1,44 \div 0,9\)
1º El número con más decimales es \(1,44\). Para borrar las comas, multiplicamos ambos por \(100\). Al \(0,9\) le agregamos un cero rojo para formar el \(90\).
2º Dividimos enteros: \(144 \div 90\). Cabe \(1\) vez y sobran \(54\). Fíjate cómo el \(90\) se resta alineando sus decenas y unidades perfectamente bajo el \(44\).
3º Ponemos la coma al cociente, regalamos un cero mágico al residuo (\(540\)). Dividimos \(540 \div 90 = 6\). ¡Sobra \(0\)! Resultado: \(1,6\).
Ejercicio 2:
Efectúa las siguientes adiciones y sustracciones:
💡 Tip A+ Math: ¡El orden es tu superpoder!
Recuerda nuestra regla de oro: la coma decimal debe formar una línea recta perfecta hacia abajo. Si quedan espacios vacíos, rellénalos con ceros mágicos. Y si te topas con decimales infinitos (con sombrerito), ¡conviértelos a fracción primero para poder sumarlos sin problemas!
Resolución paso a paso:
-
a) Analizando: \(0,3 + 0,8 + 3,15\)
1º El número con más cifras decimales es \(3,15\) (tiene dos). Para poder sumar ordenadamente, le regalamos ceros mágicos al \(0,3\) y al \(0,8\) para que todos tengan dos decimales.
2º Sumamos la columna derecha: \(0+0+5=5\).
3º Sumamos la columna central: \(3+8+1=12\). Dejamos el \(2\) y llevamos 1.
4º Sumamos las unidades: \(1+0+0+3=4\). Bajamos la coma en su lugar exacto. ¡Resultado: \(4,25\)! -
b) Analizando: \(0,39 – 0,184\)
1º Alineamos la coma. Al \(0,39\) le falta un número para igualar las tres cifras del de abajo, así que le agregamos un cero rojo.
2º Restamos: a \(0\) no le podemos quitar \(4\). El \(9\) le presta 1 y se convierte en \(8\). El \(0\) se vuelve 10. Ahora sí: \(10 – 4 = 6\).
3º Siguiente columna: \(8 – 8 = 0\). Luego \(3 – 1 = 2\). ¡El resultado es \(0,206\)! -
c) Analizando: \(1,2\widehat{7} + 1,5 + 0,9\widehat{3}\)
¡Cuidado aquí! Hay decimales infinitos (con sombrerito). No podemos sumarlos en columna porque nunca terminan. Nuestro plan maestro es convertirlos todos a fracción generatriz.
Paso 1: Convertimos a fracción- \(1,2\widehat{7} = \frac{127 – 12}{90} = \mathbf{\frac{115}{90}}\)
- \(1,5 = \frac{15}{10}\). ¡Truco! Para poder sumar fácilmente, homogeneizamos multiplicando arriba y abajo por 9 para que también tenga el \(90\) abajo: \(\frac{15 \cdot \mathbf{9}}{10 \cdot \mathbf{9}} = \mathbf{\frac{135}{90}}\).
- \(0,9\widehat{3} = \frac{93 – 9}{90} = \mathbf{\frac{84}{90}}\)
Paso 2: Sumamos las fraccionesComo ahora todas tienen el mismo denominador (son homogéneas), solo sumamos los numeradores:
\[\frac{115}{90} + \frac{135}{90} + \frac{84}{90} = \frac{115 + 135 + 84}{90} = \mathbf{\frac{334}{90}}\]Paso 3: Dividimos detalladamente para hallar el decimalDividimos el numerador entre el denominador. Presta mucha atención a la alineación de las unidades y decenas en las restas, y a los ceros mágicos que agregamos cuando ya no nos alcanzan los números enteros.
- Dividimos \(334 \div 90 = 3\). Multiplicamos \(3 \times 90 = 270\). Restamos respetando unidades y decenas: \(334 – 270 = 64\).
- Como el \(64\) ya no alcanza, ponemos la coma en el cociente y agregamos un cero rojo. Se forma \(640\).
- \(640 \div 90 = 7\) (\(630\)). Restamos y nos sobra \(10\).
- Agregamos otro cero rojo y formamos \(100\). \(100 \div 90 = 1\), restamos \(90\) (colocando unidades bajo unidades y decenas bajo decenas) y nos sobra \(10\).
- ¡Volvió a sobrar \(10\)! Significa que el número \(1\) entrará en un bucle infinito. El resultado final es \(3,7\widehat{1}\).
Ejercicio 3:
Indique si es decimal exacto, periódico puro o periódico mixto:
💡 Tip A+ Math: ¡Detectives visuales!
Para resolver esto, solo debes mirar la parte decimal (lo que está a la derecha de la coma).
• Si los números terminan, es un Decimal Exacto.
• Si el patrón que se repite empieza inmediatamente después de la coma, es Periódico Puro.
• Si hay un número «intruso» antes de que empiece la repetición, es Periódico Mixto.
Resolución paso a paso:
-
a) \(0,615\)
Observamos que después de la coma están los números 6, 1 y 5. ¡Ahí termina! No hay puntos suspensivos (…) que indiquen que continúa al infinito. Por lo tanto, es un Decimal Exacto.
-
b) \(2,3\mathbf{\color{#ef4444}{222…}}\)
Después de la coma vemos un \(3\), y luego empieza la repetición infinita del \(2\). ¡Ese \(3\) es un intruso que no se repite! Al tener parte no periódica (el \(3\)) y parte periódica (el \(2\)), es un Decimal Periódico Mixto.
-
c) \(5,\mathbf{\color{#ef4444}{2727…}}\)
¡Mira justo después de la coma! El bloque \(27\) empieza a repetirse inmediatamente, sin ningún intruso. Todo lo que está en la parte decimal es infinito y repetitivo. Por lo tanto, es un Decimal Periódico Puro.
-
d) \(48,7\mathbf{\color{#ef4444}{444…}}\)
Nuevamente tenemos un intruso. Justo después de la coma está el \(7\) (que no se repite), y luego arranca la repetición infinita del \(4\). Al tener esta mezcla, es un Decimal Periódico Mixto.
-
e) \(385,04\)
No te dejes engañar por el tamaño del número entero (385). Lo que nos importa es la parte decimal: \(04\). Como termina ahí y no tiene puntos suspensivos, se trata de un Decimal Exacto.
-
f) \(5,6\mathbf{\color{#ef4444}{478478478…}}\)
Leemos con calma después de la coma: primero está el \(6\) solito, y después identificamos que el bloque \(478\) es el que se repite infinitamente. Por culpa del intruso \(6\), este número es un Decimal Periódico Mixto.
-
g) \(42,\mathbf{\color{#ef4444}{3636…}}\)
Inmediatamente después de la coma arranca la fiesta de la repetición: el bloque \(36\) se repite sin parar. Como no hay intrusos, es un Decimal Periódico Puro.
Ejercicio 4:
Efectúa la siguiente operación combinada:
💡 Tip A+ Math: ¡Todos al mismo equipo!
Cuando veas una mezcla de decimales exactos, fracciones y decimales con sombrerito (periódicos), no intentes operarlos así como están. ¡Es una trampa! Tu primera misión es convertir todos los decimales a su fracción generatriz. Así, todos hablarán el mismo «idioma» y será súper fácil resolverlo.
Resolución paso a paso:
-
1) Convertimos los decimales a fracciones
- El decimal exacto \(0,4\) se convierte escribiendo el número sobre \(10\): \(\frac{4}{10}\). ¡Y simplificamos sacando mitad! Nos queda \(\frac{2}{5}\).
- El decimal periódico puro \(0,\widehat{3}\) se convierte usando un nueve abajo: \(\frac{3}{9}\). ¡Simplificamos sacando tercia! Nos queda \(\frac{1}{3}\).
Reescribimos nuestra operación con las nuevas fracciones:
\[ \left[ \mathbf{\color{#ef4444}{\frac{2}{5}}} – \frac{1}{6} \right] \div \mathbf{\color{#ef4444}{\frac{1}{3}}} \] -
2) Resolvemos el corchete (Resta de fracciones)
Tenemos \(\frac{2}{5} – \frac{1}{6}\). Como tienen distinto denominador (pisos diferentes), usamos el método del aspa (la carita feliz):
\[ \frac{2 \times 6 – 1 \times 5}{5 \times 6} = \frac{\mathbf{\color{#ef4444}{12}} – \mathbf{\color{#ef4444}{5}}}{30} = \mathbf{\frac{7}{30}} \] -
3) División final (¡El truco de voltear!)
Nuestra operación ahora se ve así de pequeñita:
\[ \frac{7}{30} \div \frac{1}{3} \]Para dividir fracciones aplicamos nuestro truco ninja: cambiamos el signo de división (\(\div\)) por multiplicación (\(\times\)) y volteamos la segunda fracción:
\[ \frac{7}{30} \mathbf{\color{#ef4444}{\times}} \mathbf{\color{#ef4444}{\frac{3}{1}}} \]Multiplicamos de frente: \(\frac{7 \times 3}{30 \times 1} = \frac{21}{30}\). Simplificamos sacando tercia (dividimos entre \(3\) arriba y abajo) y nos queda \(\frac{7}{10}\). ¡Y como los detectives A+ prefieren los decimales, sabemos que \(\frac{7}{10}\) es exactamente \(0,7\)!
Ejercicio 5:
Unos arquitectos diseñan los futuros parques que se construirán en Miraflores, con las medidas que se muestran en las imágenes. ¿En cuánto excede el perímetro del PLP, con respecto al PER?
💡 Tip A+ Math: ¡Detectives en acción!
Dos pistas clave para este caso: Primero, el perímetro es la suma de todos los bordes de una figura (¡no olvides que el rectángulo tiene 4 lados, aunque solo veas la medida de dos!). Segundo, la palabra «excede» significa que debemos encontrar la diferencia (restar) entre el parque más grande y el más pequeño. ¡Alinea las comas y usa tus ceros mágicos!
Resolución paso a paso:
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1) Hallamos el Perímetro del Parque Los Pinos (PLP)
El número con más decimales es \(26,325\) (tiene tres). Rellenamos a todos los demás con ceros mágicos para que tengan 3 decimales, alineamos la coma y sumamos los cuatro lados. ¡El Perímetro del PLP es \(133,285 \text{ m}\)!
-
2) Hallamos el Perímetro del Parque El Rosedal (PER)
El PER es un rectángulo, así que tiene 4 lados (dos lados de \(29,35\) y dos de \(26,8\)). Le agregamos un cero rojo a los \(26,8\) para igualar los decimales y sumamos la columna perfectamente alineada. ¡El Perímetro del PER es \(112,30 \text{ m}\)!
-
3) Calculamos el exceso (Resta)
Restamos ambos perímetros. Agregamos un cero rojo al \(112,30\) para igualar los tres decimales. ¡Ojo a la resta! A \(2\) no le podemos quitar \(3\), así que el \(3\) de al lado le presta 1 y se vuelve \(12\). \(12 – 3 = 9\). El \(3\) prestador quedó como \(2\), y \(2 – 2 = 0\). ¡El exceso es de \(20,985 \text{ m}\)!
Ejercicio 6:
Resuelve el siguiente problema:
💡 Tip A+ Math: ¡El poder del Valor Unitario!
Cuando te dan el precio total de varios metros, tu primera gran misión de detective es descubrir cuánto cuesta un solo metro. Para eso usamos la división. ¡Una vez que tengas el precio de un metro, solo debes multiplicarlo por la cantidad de metros que quieres comprar!
Resolución paso a paso:
-
1) Hallamos el precio de 1 metro de tela (División)
Dividimos el precio total (\(S/. 57\)) entre los metros (\(9,5\)). ¡Pero el divisor tiene decimales! Multiplicamos ambos números por \(10\) para eliminar la coma.
Al multiplicar \(57\) por \(10\), le agregamos un cero mágico. Ahora dividimos enteros: \(570 \div 95\). Si multiplicamos \(95 \times 6\), ¡nos da exactamente \(570\)! Por lo tanto, cada metro de tela cuesta S/. \(6\).
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2) Hallamos el costo total para \(15,5\) metros (Multiplicación)
Si 1 metro cuesta \(S/. 6\), entonces multiplicamos el precio por los metros que necesitamos: \(15,5 \times 6\).
- Multiplicamos ignorando la coma: \(6 \times 5 = 30\) (ponemos el \(0\) y llevamos 3).
- Otra vez \(6 \times 5 = 30\), le sumamos los \(\mathbf{3}\) que llevamos y da \(33\) (ponemos \(3\) y llevamos 3).
- Finalmente \(6 \times 1 = 6\), más los \(\mathbf{3}\) da \(9\). Formamos el \(930\).
- Contamos 1 decimal en la operación original, así que colocamos la coma dejando un espacio desde la derecha. ¡El costo total es S/. \(93,0\) (que es exactamente S/. \(93\))!
Ejercicio 7:
Resuelve el siguiente problema paso a paso:
💡 Tip A+ Math: ¡Planifica tu ruta!
Para resolver problemas con varios datos, ¡no intentes hacer todo de golpe! Sigue un plan de detective: 1) Descubre cuánto avanzó el Día 2. 2) Suma el total que ya recorrió en ambos días. 3) Réstale ese avance a la distancia total del viaje. ¡Y no olvides alinear las comas rellenando los vacíos con ceros mágicos!
Resolución paso a paso:
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1) ¿Cuánto recorrió el segundo día?
El problema dice que el segundo día recorrió «1,75 km más que el primer día». Sumemos: \(36,5 + 1,75\).
Alineamos las comas agregando un cero rojo. Sumamos con cuidado (como \(5+7=12\), ponemos \(2\) y llevamos \(1\)). ¡El segundo día recorrió \(38,25 \text{ km}\)!
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2) ¿Cuánto ha recorrido en total (Día 1 + Día 2)?
Sumamos el recorrido del primer día (\(36,5 \text{ km}\)) con el recorrido del segundo día que acabamos de hallar (\(38,25 \text{ km}\)).
Nuevamente necesitamos un cero rojo para alinear los decimales. Sumamos: \(6+8=14\) (ponemos \(4\), llevamos 1). ¡En total ha avanzado \(74,75 \text{ km}\)!
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3) ¿Cuánto falta para el tercer día? (Resta)
Restamos la distancia total de la ruta (\(114,2 \text{ km}\)) menos lo que ya ha avanzado (\(74,75 \text{ km}\)). ¡Presta mucha atención a los préstamos en cascada!
Colocamos nuestro cero mágico al \(114,2\) y restamos prestando en cascada:
• A \(0\) no le quitamos \(5\). El \(2\) presta y se vuelve \(1\); el \(0\) se vuelve \(\mathbf{\color{#ef4444}{10}}\). \((10-5=5)\)
• A \(1\) no le quitamos \(7\). El \(4\) presta y se vuelve \(3\); el \(1\) se vuelve \(\mathbf{\color{#ef4444}{11}}\). \((11-7=4)\)
• A \(3\) no le quitamos \(4\). El \(11\) (formado por las decenas y centenas) presta y se vuelve \(\mathbf{\color{#ef4444}{10}}\); el \(3\) se vuelve \(\mathbf{\color{#ef4444}{13}}\). \((13-4=9)\) y \((10-7=3)\).
¡El ciclista deberá recorrer \(39,45 \text{ km}\) el tercer día!
Ejercicio 8:
Efectúa las siguientes operaciones combinadas:
💡 Tip A+ Math: ¡Destruye las barreras en orden!
En las operaciones combinadas somos como desactivadores de bombas. Debemos seguir un orden estricto: primero resolvemos lo que está dentro de los paréntesis \(( )\), luego los corchetes \([ ]\) y finalmente las llaves \(\{ \}\). Además, ¡mucho cuidado con la ley de signos! Un signo negativo antes de un paréntesis le cambia el signo a todo lo de adentro.
Resolución paso a paso:
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a) \(7,3 + [4,5 – 1,9 + 6,2]\)
Paso 1: Resolvemos dentro del corchete de izquierda a derecha. Primero la resta \(4,5 – 1,9\):
Paso 2: Ahora la operación queda así: \(7,3 + [2,6 + 6,2]\). Terminamos el corchete sumando \(2,6 + 6,2 = \mathbf{8,8}\).
Paso 3: Por último, sumamos lo de afuera con el resultado del corchete: \(7,3 + 8,8\).
¡El resultado final es \(16,1\)!
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b) \(5,4 – [7,2 – (4,5 + 3,8)]\)
Paso 1: Destruimos los paréntesis sumando \(4,5 + 3,8\). Al sumar \(5+8=13\) (llevamos 1), el resultado es \(\mathbf{8,3}\).
Nuestra operación se reduce a:
\(5,4 – [7,2 – \mathbf{8,3}]\)Paso 2: ¡Cuidado en el corchete! Tenemos \(7,2 – 8,3\). Como le estamos restando un número mayor, el resultado será negativo. Restamos al revés (\(8,3 – 7,2 = 1,1\)) y le ponemos el signo menos: \(\mathbf{-1,1}\).
Nuestra operación queda así:
\(5,4 – [\mathbf{-1,1}]\)Paso 3: ¡Aplicamos ley de signos! Un «menos» delante de un «menos» se convierte en «más» (\(- \times – = +\)).
Sumamos \(5,4 + 1,1\). El resultado final es \(6,5\). -
c) \(8,5 + \{6,4 – [4,2 – (5,1 – 7,6)]\}\)
Paso 1: Paréntesis. Resolvemos \((5,1 – 7,6)\). Como el negativo es mayor, restamos \(7,6 – 5,1 = 2,5\) y le ponemos signo negativo: \(\mathbf{-2,5}\).
\(8,5 + \{6,4 – [4,2 – (\mathbf{\color{#ef4444}{-2,5}})]\}\)Paso 2: Corchetes. Vemos un doble negativo: \([4,2 – (-2,5)]\). ¡Se vuelve positivo! Sumamos \(4,2 + 2,5 = \mathbf{6,7}\).
\(8,5 + \{6,4 – [\mathbf{\color{#ef4444}{6,7}}]\}\)Paso 3: Llaves. Resolvemos \(\{6,4 – 6,7\}\). Otra vez restamos un número mayor. \(6,7 – 6,4 = 0,3\), con signo negativo nos da \(\mathbf{-0,3}\).
\(8,5 + \{\mathbf{\color{#ef4444}{-0,3}}\}\)Paso 4: Final. Más por menos es menos (\(+ \times – = -\)). Solo nos queda restar: \(8,5 – 0,3\). ¡El resultado final de esta súper bomba es \(8,2\)!
Ejercicio 9:
Efectúa las siguientes multiplicaciones y potencias:
💡 Tip A+ Math: ¡Cuidado con las trampas!
En estos ejercicios aplicaremos tres trucos de detective:
1. Ley de Signos: Signos iguales dan positivo \((+) \times (+) = +\) o \((-) \times (-) = +\). Signos diferentes dan negativo \((-) \times (+) = -\).
2. El conteo final: Multiplica como si no hubiera comas, ¡y al final suma el total de cifras decimales de ambos números!
3. ¡No multipliques sombreritos!: Si hay decimales infinitos, primero conviértelos a fracción.
Resolución paso a paso:
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a) \((-4,2)(3,6)\)
Paso 1: Aplicamos la ley de signos. Un negativo por un positivo (el \(3,6\) no tiene signo, así que es positivo) nos da negativo \(\mathbf{\color{#ef4444}{(-)}}\).
Paso 2: Multiplicamos ignorando comas (\(42 \times 36 = 1512\)). Contamos los decimales (1 arriba + 1 abajo = 2 cifras). Ponemos la coma dejando 2 espacios. ¡Resultado: \(-15,12\)!
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b) \((-3,24)(-2,05)\)
Paso 1: Aplicamos la ley de signos. Negativo por negativo da positivo \(\mathbf{\color{#ef4444}{(+)}}\).
Paso 2: Multiplicamos \(324 \times 205 = 66420\). Al final contamos los decimales (2 arriba + 2 abajo = 4 cifras). Contamos 4 espacios hacia la izquierda. El cero final a la derecha podemos borrarlo. ¡Resultado: \(+6,642\)!
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c) \((2,5)^2(1,4)^2\)
¡Truco Ninja de Potencias! Como ambos números están elevados al cuadrado, podemos juntarlos en un solo paréntesis y multiplicar primero: \([(2,5) \times (1,4)]^2\).
La multiplicación nos dio \(3,50\) (que es lo mismo que \(3,5\)). Ahora solo nos falta elevarlo al cuadrado: \((3,5)^2 = 3,5 \times 3,5\).
Multiplicamos \(35 \times 35 = 1225\). Le colocamos las 2 cifras decimales. ¡El resultado final es \(12,25\)! -
d) \((4,\widehat{6})(1,\widehat{2})\)
¡Son periódicos puros! No podemos multiplicarlos así nomás, primero debemos hallar su fracción generatriz.
- \(4,\widehat{6} = \frac{46 – 4}{9} = \mathbf{\frac{42}{9}}\). Si simplificamos (sacamos tercia), nos queda \(\frac{14}{3}\).
- \(1,\widehat{2} = \frac{12 – 1}{9} = \mathbf{\color{#1e40af}{\frac{11}{9}}}\).
Multiplicamos las fracciones frente a frente:
\[\frac{14}{3} \times \frac{11}{9} = \mathbf{\frac{154}{27}}\]Dividimos \(154 \div 27\) para volverlo decimal. Encontraremos que sobra un residuo que luego se repite formando el bloque «703». ¡El resultado final es \(5,\widehat{703}\)!
Ejercicio 10:
Resuelve el siguiente problema paso a paso:
💡 Tip A+ Math: ¡El poder del Álgebra!
¡Como verdaderos detectives, vamos a traducir las palabras a matemáticas! Usaremos una letra (\(x\)) para representar nuestro misterio principal (las ventanas limpias). Recuerda: si en total hay \(40\) ventanas y \(x\) están limpias, las que quedan sucias serán el total menos las limpias, es decir, \((40 – x)\).
Resolución paso a paso:
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1) Identificamos a nuestros personajes (Variables)
Llamaremos \(x\) a la cantidad de ventanas que limpió correctamente.
Como en total son 40 ventanas, las ventanas sucias (con descuento) serán las que sobran: \(40 – x\).
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2) Armamos nuestra Ecuación Maestra
Lo que recibe de dinero es: El pago por ventanas limpias menos el descuento por las sucias. Todo eso igual al dinero total que le dieron (\(S/. 40\)).
\[5,5(x) – 6,5(40 – x) = 40\] -
3) ¡Atacamos el paréntesis! (Propiedad Distributiva)
El número \(-\,6,5\) multiplica a todo lo que está dentro. ¡Mucho cuidado con la ley de signos! Menos por más es menos, y menos por menos es más.
Al multiplicar \(-6,5 \times 40\) obtenemos \(\mathbf{-260}\). Al multiplicar \(-6,5 \times -x\) (menos por menos) obtenemos \(\mathbf{+6,5x}\).
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4) Agrupamos a la familia «x» y resolvemos
Reescribimos nuestra ecuación con el paréntesis ya destruido:
\[5,5x \mathbf{\color{#ef4444}{- 260 + 6,5x}} = 40\]Juntamos las \(x\) a un lado y pasamos el \(-260\) al otro lado sumando:
- \(5,5x + 6,5x = 40 + 260\)
- \(12x = 300\)
- \(x = 300 \div 12\)
- \(x = 25\)
¡Misterio resuelto! La cantidad de ventanas que Carlos limpió correctamente es 25 ventanas.
¡Misión Cumplida, Detectives A+! 🎓
Hoy has demostrado ser un verdadero Detective Matemático. Has dominado el arte de las operaciones con números decimales, sumando, restando, multiplicando y dividiendo con total maestría. ¡Ahora sabes que no hay coma que se te escape ni operación combinada que te confunda! Estás completamente preparado para aplicar estos cálculos en cualquier desafío del mundo real.
¿Sabías que en la vida real casi nunca usamos todos los decimales que nos da una calculadora? Por ejemplo, cuando vas a comprar a una bodega o al supermercado en Lima, los precios finales siempre se ajustan a la moneda de 10 céntimos (S/. 0,10), porque ya no utilizamos monedas más pequeñas. Esta necesidad de «ajustar» y cortar números en nuestra vida diaria es exactamente la razón por la que existen las aproximaciones matemáticas.
🎯 Próximo Nivel: Aproximaciones Decimales
¡Nuestra aventura numérica continúa y se pone más práctica! En el siguiente nivel aprenderemos a realizar Aproximaciones Decimales. Aprenderemos a simplificar números larguísimos para hacerlos manejables, exactos y útiles para el mundo real.
Un pequeño vistazo a nuestros próximos superpoderes:
Prepárate para seguir sumando conocimientos y dominando los números como un profesional. ¡Nos vemos en el próximo módulo para continuar esta gran aventura matemática A+!