Magnitudes Proporcionales
Por Joao / 26 de julio de 2026
Introducción a las Magnitudes Proporcionales
¡Bienvenidos a una nueva aventura, Detectives A+! En nuestra vida cotidiana, nosotros relacionamos magnitudes sin darnos cuenta. Pero, ¿qué es exactamente una magnitud? Es todo aquello que puede ser medido, como el tiempo, la velocidad, el peso, el precio de un producto o la cantidad de personas. Cuando dos de estas magnitudes se conectan y dependen la una de la otra, ¡empieza la verdadera magia matemática!
Veamos un par de ejemplos clásicos, imagina la cocina de un gran restaurante; si hay un incremento de comensales (personas que van a comer), lógicamente se requieren más cocineros para atenderlos a todos. Por otro lado, imagina que estamos pintando un edificio; si reducimos el tiempo de trabajo de cada pintor, obligatoriamente se requiere de más pintores para lograr terminar el trabajo a tiempo. Como ves, ¡al cambiar una cosa, la otra cambia automáticamente! A esto lo llamamos proporcionalidad.
Nuestros Objetivos A+ en este capítulo:
- 1. El Concepto de Magnitud: Entenderemos qué es una magnitud, cómo se mide y aprenderemos a identificar cómo se relacionan diferentes situaciones en nuestra vida diaria.
- 2. Magnitudes Directamente Proporcionales (DP): Descubriremos qué sucede cuando dos magnitudes «viajan juntas». Si una aumenta, ¡la otra también! (Como comprar más chocolates y pagar más dinero).
- 3. Magnitudes Inversamente Proporcionales (IP): Exploraremos el mundo «al revés», donde si una magnitud aumenta, la otra disminuye misteriosamente (como ir a mayor velocidad y tardar menos tiempo en llegar).
«¿Estás listo para descubrir cómo se conectan las cosas en nuestro mundo? ¡Vamos a relacionar magnitudes!»
Saberes Previos
💡 Tip A+ Math: ¡Todo se puede medir!
Antes de relacionar cosas, debemos recordar un concepto clave: Una Magnitud es absolutamente todo aquello que puede ser medido, contado o pesado, y que puede aumentar o disminuir. Por ejemplo: el tiempo, los kilómetros, el dinero o el peso. ¡Si le puedes poner un número, es una magnitud!
Vamos a calentar nuestra mente resolviendo estos 5 ejercicios básicos. ¡Nos ayudarán muchísimo a entender el tema de hoy!
1. ¿Cuál de las siguientes palabras representa una «Magnitud»?
a) La alegría
b) La temperatura
c) La amistad
Recuerda nuestro Tip A+: solo podemos medir con números exactos a una de ellas usando un termómetro. Las emociones no se pueden medir con números exactos.
2. Si el precio de un producto se triplica (x 3): ¿Cuánto costará si antes valía \(15\)?
Cuando una magnitud aumenta de forma proporcional (como el triple), simplemente multiplicamos nuestro valor original por \(3\):
3. Si el tiempo de un viaje se reduce a la mitad (÷ 2): ¿Cuánto tardará si antes tardaba \(48\) minutos?
Si una magnitud disminuye a la mitad, significa que debemos dividir nuestra cantidad inicial entre \(2\):
4. Fracciones equivalentes: Completar el número que falta.
Para que dos fracciones valgan lo mismo, si multiplicamos al número de abajo (denominador) por un valor, debemos hacer exactamente lo mismo con el número de arriba (numerador):
5. Usa tu lógica: Si compras más cuadernos en la librería…
Analicemos cómo se relacionan estas dos cantidades (Cantidad de cuadernos y Dinero a pagar):
entonces pagarás MÁS dinero.
Conceptos Básicos: Magnitudes y Cantidades
¡Hola, Detectives A+! Antes de empezar a relacionar números como expertos, necesitamos conocer a los dos grandes protagonistas de nuestra historia de hoy. Todo a nuestro alrededor se puede medir, ¡y ahí es donde entra la matemática!
1. ¿Qué es una Magnitud y una Cantidad?
- Magnitud: Se define magnitud matemática a toda característica de un objeto que se pueda medir o contar. ¡Es el «qué» estamos midiendo!
- Cantidad: Es un valor particular que toma una magnitud en un determinado momento del análisis. ¡Es el número exacto, el «cuánto» tenemos de esa magnitud!
Ejemplo 1: En la fábrica de ropa 👕
Si observamos una fábrica llena de trabajadores, podemos encontrar muchas magnitudes y sus cantidades correspondientes:
- Si la magnitud es el N° de personas que trabajan, su cantidad podría ser 20 obreros.
- Si la magnitud es el N° de horas que laboran por día, su cantidad podría ser 8 horas por día.
- Si la magnitud es la Temperatura del salón de clases, su cantidad sería 18 °C.
- Si la magnitud es el Área del ambiente, la cantidad sería 90 \(m^2\).
- Si la magnitud es la Cantidad de prendas de vestir, su cantidad sería 200 prendas diarias.
2. Magnitudes Directamente Proporcionales (DP)
Dos magnitudes son directamente proporcionales (DP), cuando al aumentar o disminuir el valor de una de ellas, el valor de la otra magnitud también aumenta o disminuye en la misma proporción. ¡Son como dos amigas inseparables que siempre hacen lo mismo juntas!
Ejemplo 2: Raúl y los polos deportivos 🎽
Raúl es un comerciante de polos deportivos, él compra un lote de polos tal que el costo de 10 polos es S/ 200. Analicemos gráficamente cómo se comportan las magnitudes «Costo» y «Cantidad de polos»:
Del gráfico, podemos observar claramente que:
- A mayor cantidad de polos (flechas roja y azul), mayor será el costo.
- A menor cantidad de polos (flecha verde), menor será el costo.
En General Si A es DP a B se cumple:
Como vimos en el ejemplo de Raúl:
\( \frac{20}{1} = \frac{200}{10} = \frac{400}{20} = \frac{600}{30} = \text{constante} \)
¡La división siempre nos da el mismo resultado (20)!
💡 Tip A+ Math: ¡DP significa División!
Para que no lo olvides nunca: cuando un problema te diga que dos magnitudes son Directamente Proporcionales (DP), tu instinto matemático debe decirte inmediatamente que debes formar una fracción (división) con ambas cantidades. Al igualarlas a nuestra constante mágica «k», ¡podrás resolver cualquier misterio que te pongan enfrente!
3. Magnitudes Inversamente Proporcionales (IP)
Dos magnitudes son inversamente proporcionales (IP), cuando al aumentar el valor de una de ellas, el valor de la otra magnitud disminuye en la misma proporción (y viceversa). ¡Son como un subibaja en el parque! Si un lado sube, ¡el otro tiene que bajar obligatoriamente!
Ejemplo 3: Los carpinteros y las mesas 🪚
Comparemos los valores de las magnitudes «N° de días» y «N° de carpinteros», sabiendo un dato principal: 12 carpinteros pueden hacer un lote de mesas en 40 días. Mira con mucha atención lo que sucede con los números y las flechas:
Del gráfico, podemos observar algo súper interesante:
- A mayor cantidad de carpinteros trabajando, menor será la cantidad de días que demoren.
- A menor cantidad de carpinteros trabajando, mayor será la cantidad de días que demoren.
Fíjate bien en las flechas: mientras a los días los multiplicamos por 2, a los carpinteros los dividimos entre 2. ¡Hacen exactamente la operación contraria!
En General Si A es IP a B se cumple:
Comprobemos el ejemplo de los carpinteros multiplicando las columnas:
20 × 24 = 40 × 12 = 80 × 6 = 160 × 3 = constante
¡La multiplicación siempre nos da el mismo resultado (480)!
💡 Tip A+ Math: ¡IP significa Multiplicación!
Si DP era división, su opuesto IP (Inversamente Proporcional) será la multiplicación. Cuando un problema te indique que dos magnitudes son IP, inmediatamente tu cerebro de detective debe multiplicar los valores para igualarlos a la constante «k». ¡Ese es el truco para resolverlo todo!
¡Graficando las Magnitudes!
¡Hola de nuevo, Detectives A+! Ya somos expertos ordenando datos en cuadros. Ahora daremos el paso definitivo de los grandes matemáticos: pasar esos datos a un gráfico. Ver un gráfico nos permite entender al instante, con un solo vistazo, cómo se comportan los números.
1. Gráfico de Magnitudes Directamente Proporcionales (DP)
Analicemos el caso de las magnitudes «costo» del kg de arroz y «cantidad» de arroz.
| Magnitudes | Valores correspondientes | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| Costo | 2 | 4 | 6 | 10 | … |
| Kgs. arroz | 1 | 2 | 3 | 5 | … |
Del cuadro, observamos que si dividimos el costo entre el número de kgs de arroz se obtiene una cantidad constante. Ahora, llevemos estos puntos a un plano cartesiano:
Esta gráfica nos indica que a medida que «B» (N° de Kgs de arroz) aumenta, también «A» costo aumenta, o si «B» disminuye también «A» disminuye.
¡Una magnitud Directamente Proporcional (DP) siempre dibujará una LÍNEA RECTA!
2. Gráfico de Magnitudes Inversamente Proporcionales (IP)
Ahora observemos el caso de las magnitudes «Velocidad» y «Tiempo».
| Magnitudes | Valores correspondientes | |||
|---|---|---|---|---|
| Velocidad | 20 | 40 | 80 | … |
| Tiempo | 8 | 4 | 2 | … |
Del cuadro, observamos que si multiplicamos la velocidad por el tiempo se obtiene siempre, para este cuadro, 160 una cantidad constante. Veamos cómo se ve esto dibujado:
En este gráfico podemos ver claramente el efecto «subibaja». Mientras los números avanzan hacia la derecha en la base (el tiempo aumenta), la línea va cayendo hacia abajo de forma curva (la velocidad disminuye).
¡Una magnitud Inversamente Proporcional (IP) siempre dibujará una CURVA (Hipérbola)!
💡 Tip A+ Math: ¡El secreto de la silueta!
Para los exámenes, no necesitas hacer ningún cálculo para saber qué tipo de magnitud es si te dan el dibujo. Solo mira la forma: Si parece una rampa recta hacia arriba, es DP (División). Si parece un tobogán curvo hacia abajo, es IP (Multiplicación). ¡Así de rápido es deducirlo visualmente!
Ejercicios Aplicativos Resueltos
¡Manos a la obra, Detectives A+! Vamos a resolver juntos estos ejercicios paso a paso. Observa bien el procedimiento y cómo aplicamos nuestra lógica de magnitudes, porque luego te tocará a ti resolver tus propios misterios.
1. Identifica la relación entre las magnitudes: «Cantidad de chocolates» y «Dinero total a pagar». ¿Son DP o IP?
Resolución:
Para descubrirlo, usamos nuestra lógica diaria. Nos preguntamos: ¿Qué pasa si compro MÁS chocolates? La respuesta es obvia: tendré que pagar MÁS dinero.
Como al aumentar una cantidad, la otra también aumenta, actúan como compañeras inseparables.
Respuesta: Son magnitudes Directamente Proporcionales (DP).
2. Identifica la relación entre las magnitudes: «Velocidad de un auto» y «Tiempo en llegar a su destino». ¿Son DP o IP?
Resolución:
Analicemos el caso: Si el papá de Juan maneja a MÁS velocidad (va más rápido), el auto se demorará MENOS tiempo en llegar a la casa.
Como una magnitud sube y la otra baja, están haciendo exactamente lo contrario, como en un subibaja.
Respuesta: Son magnitudes Inversamente Proporcionales (IP).
3. Si 3 entradas para el cine cuestan S/ 45, ¿cuánto costarán 5 entradas?
Resolución:
Sabemos que a más entradas, más dinero pagaremos, por lo tanto son DP. Como son DP, aplicamos nuestro Tip A+: ¡Debemos hacer una división para hallar nuestra constante!
Nuestra constante es 15 (eso cuesta cada entrada). Ahora que sabemos esto, simplemente multiplicamos ese valor por las 5 entradas que queremos comprar:
Respuesta: Las 5 entradas costarán S/ 75.
4. Si 2 obreros construyen un muro en 12 días, ¿cuántos días demorarán 4 obreros trabajando al mismo ritmo?
Resolución:
A más obreros trabajando, demorarán menos días. Por lo tanto, son magnitudes IP. Si son IP, recordamos nuestro Tip A+ y aplicamos la multiplicación para encontrar la constante:
Nuestra constante total de trabajo es 24. Ahora, repartimos ese trabajo entre los 4 obreros nuevos:
Respuesta: Los 4 obreros demorarán solo 6 días.
5.
Completar la siguiente regla de oro:
«Si las magnitudes A y B son DP, entonces su …………………………… es constante. Si A y B son IP, entonces su …………………………… es constante.»
Resolución:
Como acabamos de aprender en la teoría principal, las magnitudes Directamente Proporcionales (DP) se relacionan dividiendo, mientras que las Inversamente Proporcionales (IP) se relacionan multiplicando.
Respuesta: «Si las magnitudes A y B son DP, entonces su división es constante. Si A y B son IP, entonces su multiplicación es constante.»
Ejercicio 1:
Si A es inversamente proporcional a B y cuando A = 30; B = 40. Hallar B cuando A sea 60.
💡 Tip A+ Math: ¡IP es Multiplicación!
Cuando leemos que dos magnitudes son Inversamente Proporcionales (IP), nuestro cerebro de detective debe pensar automáticamente en una multiplicación. Recuerda: ¡La multiplicación de sus valores siempre nos dará el mismo resultado (la misma constante)!
Resolución paso a paso:
-
Paso 1: Plantear la fórmula
Como A y B son Inversamente Proporcionales (IP), escribimos nuestra regla de oro multiplicando ambas letras para encontrar nuestra constante:
\(A \times B = \text{constante}\) -
Paso 2: Igualar los dos momentos
El problema nos da un primer momento (cuando A es 30 y B es 40) y nos pregunta por un segundo momento (cuando A es 60 y B es desconocido). ¡Como la constante es la misma, igualamos las multiplicaciones de ambos momentos!
\(30 \times 40 = 60 \times B\)
\(1200 = 60 \times B\)
\(1200 \div 60 = B\)
\(\mathbf{20 = B}\) -
Paso 3: Respuesta final
Hemos descubierto que el valor de B debe ser 20 para que se mantenga el equilibrio perfecto en la multiplicación.
Respuesta final: Opción b) 20
Ejercicio 2:
Si A es directamente proporcional a B y cuando A = 15; B = 60. Hallar B cuando A sea 45.
💡 Tip A+ Math: ¡DP es División!
Cuando leemos que dos magnitudes son Directamente Proporcionales (DP), nuestro instinto matemático debe pensar inmediatamente en una división (fracción). ¡Al dividir sus valores en ambos momentos siempre obtendremos el mismo resultado!
Resolución paso a paso:
-
Paso 1: Plantear la fórmula
Como A y B son Directamente Proporcionales (DP), escribimos nuestra regla dividiendo ambas letras para igualarlas a nuestra constante:
\( \frac{A}{B} = \text{constante} \) -
Paso 2: Igualar los dos momentos
El problema nos da un primer momento (cuando A es 15 y B es 60) y nos pregunta por un segundo momento (cuando A es 45 y B es desconocido). ¡Igualamos las fracciones y multiplicamos en aspa (cruzado)!
\( \frac{15}{60} = \frac{45}{B} \)
\( 15 \times B = 60 \times 45 \)
\( 15 \times B = 2700 \)
\( B = 2700 \div 15 \)
\( \mathbf{B = 180} \) -
Paso 3: Respuesta final
¡Misterio resuelto! Hemos descubierto que el valor de B debe ser 180 para que la división de ambos momentos mantenga el mismo equilibrio.
Respuesta final: Opción c) 180
Ejercicio 3:
El restaurante «Gambini» atiende un pedido de fuentes de ceviche para 150 personas. El chef indica que 2 fuentes alcanzan exactamente para 10 personas. ¿Cuántas fuentes se necesitarán en total y qué tipo de magnitud es la «Cantidad de fuentes» respecto a la «Cantidad de personas»?
💡 Tip A+ Math: ¡Usa tu lógica de Detective!
Antes de hacer cualquier cálculo, hazte la pregunta clave: «Si vienen MÁS personas al restaurante… ¿necesitaré preparar MÁS o MENOS fuentes de ceviche?». Si ambas cantidades suben juntas, ya sabes que se trata de magnitudes Directamente Proporcionales (DP) y debes usar la división.
Resolución paso a paso:
-
Paso 1: Identificar la magnitud y plantear
Ya descubrimos que a más personas, se necesitan más fuentes. ¡Son DP! Por lo tanto, armamos nuestras fracciones con los datos del primer momento (2 fuentes para 10 personas) y el segundo momento (\(x\) fuentes para 150 personas):
\( \frac{2}{10} = \frac{x}{150} \) -
Paso 2: Resolver la ecuación
Como es una igualdad de fracciones, multiplicamos en aspa (cruzado) para descubrir nuestro valor escondido:
\( 2 \times 150 = 10 \times x \)
\( 300 = 10x \)
\( 300 \div 10 = x \)
\( \mathbf{30 = x} \) -
Paso 3: Respuesta final
¡Perfecto! Necesitamos 30 fuentes en total. Y como comprobamos al inicio mediante nuestra lógica, se trata de magnitudes Directamente Proporcionales (DP).
Respuesta final: Opción b) 30 fuentes – DP
Ejercicio 4:
Continuando con el caso del restaurante «Gambini»: Ya sabemos que para 10 personas se necesitan 2 fuentes de ceviche. ¡Ahora es tu turno de organizar la información!
Elabora un cuadro en tu cuaderno para representar estas magnitudes. Escribe los títulos correctos, coloca los datos que ya conocemos e inventa dos momentos más (por ejemplo, calcula cuántas fuentes necesitarías para 20 personas y para 50 personas) para completar toda la tabla.
Dibuja y completa este cuadro:
💡 Tip A+ Math: ¡Multiplica en ambos lados!
Recuerda que estamos trabajando con magnitudes Directamente Proporcionales (DP). Esto significa que si decides multiplicar la cantidad de personas por un número para crear un nuevo dato, ¡debes multiplicar la cantidad de fuentes por exactamente el mismo número!
Resolución paso a paso:
-
Paso 1: Títulos y datos iniciales
Primero, colocamos los nombres de nuestras magnitudes en la columna gris: Cant. de Fuentes y Cant. de Personas. Luego, llenamos la primera columna en blanco con el dato que ya conocemos: 2 fuentes para 10 personas.
-
Paso 2: Calcular nuevos momentos
Vamos a calcular los dos ejemplos que nos sugirieron:
– Para 20 personas: Es el doble de 10 (multiplicamos por 2), así que necesitamos el doble de fuentes (\(2 \times 2 = 4\)).
– Para 50 personas: Es cinco veces 10 (multiplicamos por 5), así que necesitamos el quíntuple de fuentes (\(2 \times 5 = 10\)). -
Paso 3: El Cuadro Terminado
Así quedaría nuestro cuadro completamente lleno y ordenado, demostrando cómo ambas magnitudes crecen juntas:
Ejercicio 5:
Gloria compró 500 g de manzanas por S/ 4 y hoy compró 1500 g por S/ 12. Resuelve los siguientes retos en tu cuaderno:
a. Presenta los datos en una tabla e indica el valor de la constante de proporcionalidad (K).
b. ¿Las magnitudes son directamente proporcionales? Explica brevemente.
c. Con S/ 32, ¿cuántos kg de manzanas podrá comprar Gloria?
d. ¿Cuánto le costará 2 1/2 kg de manzanas?
Dibuja y completa esta tabla para la pregunta «a»:
💡 Tip A+ Math: ¡Cuidado con las unidades!
El problema nos da el peso en gramos (g), pero nuestra tabla nos pide llenarla en kilogramos (kg). Recuerda que 1 kg = 1000 g. Por lo tanto, para pasar de gramos a kilogramos, solo debes dividir tu cantidad entre 1000.
Resolución paso a paso:
-
Parte a: Llenar la tabla y hallar «K»
Primero convertimos a kg: 500 g son \(0.5\) kg y 1500 g son \(1.5\) kg. Llenamos nuestra tabla y dividimos el Precio entre el Peso para hallar nuestra constante de proporcionalidad (K):
\( K = \frac{4}{0.5} = \mathbf{8} \) -
Parte b: ¿Son Directamente Proporcionales (DP)?
Sí, lo son. Porque al comprar MÁS kilogramos de manzanas, el precio a pagar también será MAYOR en la misma proporción. Además, al dividir ambas cantidades (\(12 \div 1.5\)) obtenemos siempre la misma constante (\(8\)).
-
Parte c: ¿Cuántos kg compra con S/ 32?
Sabiendo que nuestra constante de división es 8, planteamos nuestra fracción colocando el dinero arriba y el peso desconocido (\(x\)) abajo:
\( \frac{32}{x} = 8 \)
\( 32 = 8x \)
\( \mathbf{4 = x} \)Respuesta: Podrá comprar 4 kg.
-
Parte d: Costo de 2 1/2 kg
Sabemos que 2 1/2 kg es exactamente lo mismo que \(2.5\) kg. Armamos nuevamente nuestra fracción para hallar el precio desconocido (\(y\)):
\( \frac{y}{2.5} = 8 \)
\( y = 8 \times 2.5 \)
\( \mathbf{y = 20} \)Respuesta: Le costará S/ 20.
Ejercicio 6:
Compré 6 camisas iguales y pagué por ellas S/ 180. ¿Cuántas de estas camisas me podría comprar con S/ 900?
💡 Tip A+ Math: ¡Usa tu lógica DP!
Si tenemos MÁS dinero para gastar, es lógico que podremos comprar MÁS camisas. Como ambas cantidades (dinero y camisas) aumentan juntas, son magnitudes Directamente Proporcionales (DP) y debemos usar una división para mantener el equilibrio.
Resolución paso a paso:
-
Paso 1: Plantear la igualdad (Fracciones)
Colocamos el Precio arriba y la Cantidad de camisas abajo. Igualamos el primer momento (S/ 180 por 6 camisas) con el segundo momento (S/ 900 por «\(x\)» camisas):
\( \frac{180}{6} = \frac{900}{x} \) -
Paso 2: Resolver la ecuación
Podemos multiplicar en aspa o, de manera más rápida, dividir primero el lado izquierdo (\(180 \div 6\)) para hallar el precio de una sola camisa (nuestra constante) y luego despejar la «\(x\)»:
\( 30 = \frac{900}{x} \)
\( 30 \times x = 900 \)
\( x = 900 \div 30 \)
\( \mathbf{x = 30} \) -
Paso 3: Respuesta final
¡Excelente! Con los S/ 900 nos alcanzará exactamente para comprar 30 camisas iguales.
Respuesta final: Opción c) 30
Ejercicio 7:
En el minimarket, una lata de atún cuesta S/ 5. Si compramos un paquete de 4 latas, este nos cuesta S/ 18. Resuelve lo siguiente:
a) ¿El precio de las latas es directamente proporcional al número de latas que compramos? Fundamenta tu respuesta.
b) Una caja entera contiene 24 latas. ¿Cuál debería ser el precio de esta caja para que la compra siga siendo directamente proporcional al precio de una sola lata suelta?
💡 Tip A+ Math: ¡Las ofertas rompen las reglas!
En la vida real, cuando compramos «por mayor» (como un paquete de 4 o 6 productos), los supermercados nos hacen un descuento. Al hacer esto, el precio ya no crece al mismo ritmo que la cantidad, ¡por lo que dejan de ser Directamente Proporcionales (DP)! Para que sean DP exactos, el costo por unidad siempre debe ser el mismo.
Resolución paso a paso:
-
Paso 1: Resolver la parte «a» (Comprobar si son DP)
Para saber si son Directamente Proporcionales, formamos las fracciones (Precio ÷ Cantidad) de ambos momentos. ¡Si el resultado es igual, son DP!
\( \frac{\text{S/ 5}}{1\text{ lata}} = 5 \)
\( \frac{\text{S/ 18}}{4\text{ latas}} = 4.5 \)¡No son iguales! (\(5 \neq 4.5\)). Por lo tanto, NO son directamente proporcionales debido a la oferta del paquete.
-
Paso 2: Resolver la parte «b» (Hallar el precio ideal DP)
Nos piden calcular el precio de la caja de 24 latas manteniendo la proporción de una sola lata. Es decir, nuestra constante obligatoria será 5. Planteamos la ecuación para el precio desconocido (\(x\)):
\( \frac{x}{24} = 5 \)
\( x = 24 \times 5 \)
\( \mathbf{x = 120} \) -
Paso 3: Respuesta final
Para que se cumpla la proporcionalidad directa, no deben existir descuentos. Si 1 lata cuesta S/ 5, entonces 24 latas deben costar 120 soles.
Respuesta final para «b»: Opción c) S/ 120
Ejercicio 8:
El restaurante Gambini funciona desde hace 5 meses en un local cuyo costo de alquiler mensual se muestra en el siguiente gráfico:
Interpreta el gráfico para identificar el pago que se hizo en los meses «a» y «b». Luego responde: ¿Cuánto pagará el restaurante por 12 meses de alquiler en total?
💡 Tip A+ Math: ¡Lectura directa!
Como aprendimos en la teoría, una línea recta que nace desde la esquina del cero (el origen) significa que estamos frente a magnitudes Directamente Proporcionales (DP). Para resolverlo, solo necesitas ubicar el punto más fácil de leer en la cuadrícula para encontrar tu constante (división).
Resolución paso a paso:
-
Paso 1: Interpretar el gráfico y hallar la constante
Al observar el gráfico, cruzamos el mes «1» en el eje inferior con la línea recta, y vemos que apunta exactamente a «3 500» en el eje de los Soles. Esto nos da nuestra constante: ¡El alquiler cuesta S/ 3500 por cada mes!
\( \frac{\text{S/ 3500}}{\text{1 mes}} = \mathbf{3500} \)Sabiendo esto, es fácil identificar «a» y «b»:
– Pago en el mes 2 (a) = \(2 \times 3500 = \text{S/ 7000}\)
– Pago en el mes 5 (b) = \(5 \times 3500 = \text{S/ 17500}\) -
Paso 2: Calcular el alquiler de 12 meses
Para responder la pregunta principal, utilizamos nuestra constante (3500) y planteamos la fracción para 12 meses:
\( \frac{\text{Costo Total}}{12} = 3500 \)
\( \text{Costo Total} = 3500 \times 12 \)
\( \mathbf{\text{Costo Total} = 42\,000} \) -
Paso 3: Respuesta final
El restaurante Gambini pagará un total de 42 000 soles por todo el año de alquiler.
Respuesta final: Opción c) S/ 42 000
Ejercicio 9:
Si 4 hombres necesitan 30 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 20 hombres para realizar el mismo trabajo?
💡 Tip A+ Math: ¡Más manos, menos tiempo!
Usa tu lógica: si hay más hombres trabajando en una misma obra, terminarán en menos días. Como una cantidad sube y la otra baja, estamos frente a magnitudes Inversamente Proporcionales (IP). ¡Recuerda que para las IP usamos la multiplicación!
Resolución paso a paso:
-
Paso 1: Plantear la ecuación con la constante
Como son IP, multiplicamos los valores de la primera columna para encontrar nuestra constante de trabajo total:
\( 4 \times 30 = \text{constante} \) -
Paso 2: Igualar para encontrar el valor desconocido
Ahora igualamos esta multiplicación con la multiplicación de la última columna (20 hombres y «\(x\)» días):
\( 4 \times 30 = 20 \times x \)
\( 120 = 20x \)
\( 120 \div 20 = x \)
\( \mathbf{6 = x} \) -
Paso 3: Respuesta final
¡Excelente deducción! Los 20 hombres lograrán terminar el mismo trabajo en tan solo 6 días.
Respuesta final: Opción c) 6
Ejercicio 10:
Si sabemos que las magnitudes A y B son Directamente Proporcionales (DP), descubre los valores ocultos y completa la tabla:
¿Cuáles son los valores que completan la fila B (de izquierda a derecha)?
💡 Tip a+mathmentor: ¡Busca la pareja completa!
Como siempre recordamos en a+mathmentor, el truco infalible para resolver cualquier tabla proporcional es buscar la columna que tenga ambos datos completos. Una vez que encuentras esa pareja, solo debes dividir o multiplicar para hallar la «constante mágica» que conectará a todos los demás números.
Resolución paso a paso:
-
Paso 1: Hallar la constante
Observamos la tabla y notamos que la última columna tiene la pareja completa: A = 24 y B = 120. Como son Directamente Proporcionales (DP), dividimos el valor de B entre el valor de A para encontrar nuestro ritmo de crecimiento:
\( \frac{120}{24} = \mathbf{5} \)¡Nuestra constante es 5! Esto significa que cualquier valor de la fila «A» debe ser multiplicado por 5 para obtener su compañero en la fila «B».
-
Paso 2: Calcular los valores faltantes
Ahora solo multiplicamos cada número de la fila superior por nuestra constante (5):
\( 4 \times 5 = \mathbf{20} \)
\( 8 \times 5 = \mathbf{40} \)
\( 12 \times 5 = \mathbf{60} \)
\( 16 \times 5 = \mathbf{80} \) -
Paso 3: Tabla completada
Así queda nuestra tabla perfectamente equilibrada:
Respuesta final: Opción b) 20, 40, 60, 80
¡Misión Cumplida, Detectives A+! 🎓
Hoy has demostrado ser un verdadero Detective Matemático. Has dominado el arte de las Magnitudes Proporcionales con total maestría. ¡Ahora sabes perfectamente cómo se comportan los números cuando trabajan en equipo! Estás completamente preparado para identificar cuándo usar la división (DP) o la multiplicación (IP), para encontrar cualquier constante oculta y hasta puedes leer gráficos como un verdadero profesional.
¿Sabías que en la vida diaria tu mente ya hace «repartos» usando esta lógica? Si tú y tu hermano compran un premio juntos, pero tú pones 20 soles y él solo pone 10 soles, tu cerebro sabe que no sería justo dividir el premio a la mitad. Sabes que a ti te toca una parte mayor por haber aportado más. ¡Esa idea de «repartir de manera justa y proporcional» es exactamente lo que formalizaremos en nuestro siguiente tema!
🎯 Próximo Nivel: Reparto Proporcional
¡Nuestra aventura numérica continúa! En el siguiente nivel usaremos todo lo que aprendimos hoy sobre DP e IP para aprender a dividir o repartir una cantidad, pero de manera justa según ciertas condiciones. ¡Es una de las herramientas matemáticas más útiles para los negocios, las empresas y la vida diaria!
Un pequeño vistazo a nuestros próximos superpoderes:
Prepárate para seguir sumando conocimientos y dominando los números como un profesional. ¡Nos vemos en el próximo módulo para continuar esta gran aventura matemática A+!