Paso 1: Identificar la propiedad
Por dato del problema, M es punto medio de AB. Esto significa que la distancia de A hasta M es exactamente la misma que de M hasta B.

Paso 2: Plantear y resolver
Reemplazamos con las expresiones algebraicas que nos da el gráfico y resolvemos la ecuación agrupando las «x» a un lado y los números al otro:

Paso 1: Deducción lógica del Punto Medio
El gráfico nos indica que el segmento total (AB) mide 100. Como M es el punto medio, divide esos 100 en dos partes iguales. Por lo tanto, cada mitad debe medir exactamente 50.

Paso 2: Plantear la ecuación
El gráfico también nos dice que el pedazo MB vale algebraicamente x² + 1. Como ya sabemos que matemáticamente esa mitad vale 50, ¡los igualamos!

Paso 3: Extraer la raíz cuadrada
Para eliminar el cuadrado de la «x», sacamos la raíz cuadrada al otro lado:

Paso 1: Analizar el Punto Medio
El problema nos dice que M es punto medio de todo el segmento AC. Por definición, esto significa que el lado izquierdo (AM) es igual al lado derecho (MC).

Paso 2: Construir el lado izquierdo (AM)
Observando el gráfico, el segmento AM está compuesto por dos partes más pequeñas: AB (que vale 2) y BM (que vale x). Por el postulado de la adición, sumamos estas partes:

AM = AB + BM = 2 + x

Paso 3: Igualar y resolver
Ahora que sabemos que AM = 2 + x, y el gráfico nos indica que MC = 2x – 10, procedemos a igualarlos:

Paso 1: Aplicar la teoría del Punto Medio
Sabemos que si M es punto medio de AB, los segmentos AM y MB tienen la misma medida.

Paso 2: Igualar las expresiones fraccionarias
Reemplazamos con los datos del gráfico para plantear nuestra ecuación:

Paso 3: Eliminar denominadores (El truco del MCM)
El MCM de los denominadores 2 y 3 es 6. Multiplicamos todos los términos de la ecuación por 6 para desaparecer las fracciones de un solo golpe:

Paso 4: Resolver la ecuación lineal
Pasamos el «2x» a restar al lado izquierdo:

Paso 1: Analizar el primer segmento (AB)
El gráfico nos indica que todo el segmento AB mide 40. Como M es su punto medio, va a dividir ese 40 en dos partes exactamente iguales:

Paso 2: Analizar el segundo segmento (BC)
Hacemos lo mismo con el otro lado. Todo el segmento BC mide 50. Como N es su punto medio, divide esos 50 en dos partes iguales:

Paso 3: Unir las piezas para hallar «x»
Mira bien el gráfico: la variable «x» representa la distancia desde M hasta N. Por adición de segmentos, esa distancia es la suma de los dos pedacitos interiores que acabamos de descubrir:

Paso 1: Dibujar y asignar variables
Al leer que M es punto medio de AB, sabemos que AM = MB. Llamémosles «a». Del mismo modo, N es punto medio de BC, así que BN = NC. Llamémosles «b».

Paso 2: Plantear la ecuación con el dato total
El problema nos regala un dato vital: todo el segmento AC mide 40. Por el postulado de la adición, la suma de todas las pequeñas partes debe darnos 40.

Paso 3: Simplificar y descubrir la magia
Podemos simplificar la ecuación dividiendo todos sus términos entre 2 (sacando «mitad»):

Paso 4: Identificar lo que nos piden
El ejercicio nos pide calcular MN. Si observamos nuestro dibujo, el segmento MN está formado exactamente por la unión de «a» y «b» (MN = MB + BN). ¡Y acabamos de descubrir que esa suma vale 20!

Paso 1: Dibujar y ubicar los datos
Trazamos la recta con los puntos A, B, C y D. Colocamos el valor total en la parte inferior (AD = 60) y las medidas parciales en la parte superior (AC = 57 y BD = 36). A lo que queremos hallar (BC) le pondremos la variable «x».

Paso 2: Encontrar una pieza faltante (Sustracción)
Observa el dibujo global. Si al segmento total (AD = 60) le recortamos (restamos) el trozo grande de la izquierda (AC = 57), nos quedaremos únicamente con el pequeño segmento de la derecha (CD).

Paso 3: Usar la pieza para hallar «x»
Ahora enfocamos nuestra atención solo en el segmento BD. Sabemos por dato que BD = 36. Pero mirando el gráfico, BD está formado por la suma de BC (nuestra «x») y el CD que acabamos de descubrir.

Paso 1: Dibujar y ubicar variables
Ubicamos los puntos A, B, C y D. Al punto medio de AB lo llamaremos M (dividiendo a AB en partes «a»). Al punto medio de CD lo llamaremos N (dividiendo a CD en partes «b»).

Paso 2: Plantear la ecuación con el dato total
El problema nos indica que todo el segmento AD mide 100. La suma de todas nuestras pequeñas partes debe ser igual a ese total:

Paso 3: Simplificar sacando mitad
Dividimos toda la ecuación entre 2 para simplificarla:

Paso 4: Hallar lo que nos piden
El ejercicio nos pide la medida del segmento que une los puntos medios, es decir, el segmento MN. Mirando el gráfico, notamos que MN está formado por: «a» + 30 + «b».

Paso 1: Identificar la igualdad en el gráfico
Si observamos detenidamente la sección central del dibujo, notaremos que el segmento BC tiene dos valores asignados. En la parte superior nos dice que mide 3k, y en la parte inferior nos asegura que su valor es 48. Por pura lógica, ambos valores deben ser iguales:

Paso 2: Calcular la constante «k»
Resolvemos esta sencilla ecuación pasando el 3 a dividir al otro lado:

Paso 3: Calcular el segmento total (AD)
El problema nos pide calcular AD (todo el segmento). Para ello, sumamos todas las partes proporcionales que conforman la línea recta:

Paso 4: Reemplazar y resolver
Como ya sabemos que el valor de nuestra constante «k» es 16, simplemente lo reemplazamos en nuestra ecuación final:

Paso 1: Dibujar y aplicar la constante de proporcionalidad
Como nos hablan de 3 segmentos consecutivos, dibujamos una recta con los puntos A, B, C y D. Al decir que son proporcionales a 7, 9 y 13, les asignamos esos valores acompañados de la constante «k».

Paso 2: Igualar el dato conocido
El problema nos dice explícitamente que el tercer segmento (el segmento CD) mide 65. Mirando nuestro gráfico, el tercer segmento vale algebraicamente 13k. Igualamos ambos valores:

Paso 3: Hallar lo que nos piden
La pregunta nos pide averiguar la medida del segundo segmento (es decir, el segmento BC). En nuestro dibujo, BC vale 9k. Como ya descubrimos que la constante «k» es 5, solo multiplicamos: