Inecuaciones lineales
Por Joao / 24 de abril de 2026
Ejemplo 2. Resuelve la siguiente inecuación con fracciones y halla su Conjunto Solución:
💡 Tip A+: ¡Aplica el Paso 2! El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de 2 y 3 es 6. Multiplica todo por 6 para destruir las fracciones al instante.
Ejemplo 3. Resuelve la siguiente inecuación y ten mucho cuidado con la Regla de Oro:
🚨 ¡ALERTA! El número que acompaña a la \(x\) es negativo (\(-2\)). Para pasar a dividir, aplicamos el Paso 4 (Regla de oro) y volteamos el símbolo de \((>)\) a \((<)\).
Ejemplo 4. Resuelve la inecuación y halla la suma de los tres menores valores enteros que la verifican:
Respondemos la pregunta final:
Si leemos \( 2 \le x \) al revés, significa que \( x \ge 2 \) (x es mayor o igual a 2).
Los números enteros que cumplen esto son: \( \{ 2, 3, 4, 5, 6… \} \).
Como nos piden la suma de los 3 menores, tomamos el 2, el 3 y el 4.
🧠 Ejemplos Guiados: ¡Paso a Paso!
Ejercicio 1:
01. Resuelve la siguiente inecuación y grafica su Conjunto Solución:
💡 Tip A+: ¡Cuidado con el paréntesis! Recuerda el Paso 1 de nuestra guía: el número que está afuera (\(15\)) debe multiplicar a TODOS los que están adentro.
¡Resolvamos paso a paso!
\( 16x + 9 \ge 15(x) + 15(2) \)
(Propiedad distributiva)
\( 16x + 9 \ge 15x + 30 \)
\( 16x – 15x \ge 30 – 9 \)
(Agrupamos las \(x\) a la izquierda y números a la derecha)
\( x \ge 21 \)
Esto significa que los valores que cumplen la inecuación son todos los números mayores o iguales a 21. ¡Vamos a graficarlo!
\(-\infty\)
\(+\infty\)
21
∴ C.S. = \( [ 21; +\infty \rangle \)
Ejercicio 2:
02. Resuelve la siguiente inecuación y halla su Conjunto Solución:
💡 Tip A+: ¡Alerta de trampa! 🚨 Cuando multipliques el \(-2\) por los elementos dentro del paréntesis, aplica la ley de signos. Recuerda: negativo por negativo da POSITIVO.
¡Resolvamos paso a paso!
\( 6x – 2(3) – 2(-2x) < 8x - 1 \)
\( 6x – 6 \color{#ef4444}{+ 4x} < 8x - 1 \) (¡Ojo aquí! \(-2 \cdot -2x = +4x\))
\( 10x – 6 < 8x - 1 \) (Sumamos \(6x + 4x\))
\( 10x – 8x < -1 + 6 \) (Agrupamos las \(x\) a un lado y los números al otro)
\( 2x < 5 \)
\( x < \frac{5}{2} \)
\(-\infty\)
\(+\infty\)
\(\frac{5}{2}\)
∴ C.S. = \( \langle -\infty; \frac{5}{2} \rangle \)
Ejercicio 3:
03. Resuelve la siguiente inecuación y grafica su Conjunto Solución:
💡 Tip A+: ¿Te incomoda el decimal \(0,5\)? Tienes dos opciones: sumarlo directamente (\(0,5x + 1x = 1,5x\)) o, si prefieres, multiplicar TODA la inecuación por 2 en el primer paso para convertir ese \(0,5\) en un \(1\) entero y decirle adiós a los decimales.
¡Resolvamos paso a paso!
\( 0,5x + x – 2 \le 2x – 6 \)
(Quitamos los paréntesis)
\( 1,5x – 2 \le 2x – 6 \)
(Sumamos las \(x\) del lado izquierdo)
\( -2 + 6 \le 2x – 1,5x \)
(¡Truco A+! Pasamos las \(x\) a la derecha para que queden positivas)
\( 4 \le 0,5x \)
✅ Recuerda: Para convertir ese \(0,5\) en un \(1\) entero y despejar la \(x\) por completo, podemos multiplicar a todo por 2. Como el \(2\) es un número positivo, la dirección de la desigualdad se mantiene intacta (no se altera).
\( 8 \le x \)
Decir que \( 8 \le x \) es exactamente lo mismo que decir \( x \ge 8 \). ¡Vamos a graficarlo!
\(-\infty\)
\(+\infty\)
8
∴ C.S. = \( [ 8; +\infty \rangle \)
Ejercicio 4:
04. Resuelve la siguiente inecuación y halla su Conjunto Solución:
💡 Tip A+: ¡Sé un estratega! Después de quitar los paréntesis, fíjate de qué lado conviene agrupar las \(x\) para que el resultado sea positivo. ¡Así te evitas la molestia de tener que voltear el símbolo de la desigualdad!
¡Resolvamos paso a paso!
\( 5 – 2x \le 3 + 2(4) – 2(2x) \)
(Propiedad distributiva a la derecha)
\( 5 – 2x \le 3 + 8 – 4x \)
\( 5 – 2x \le 11 – 4x \)
\( 4x – 2x \le 11 – 5 \)
(¡Estrategia! Pasamos el \(-4x\) a la izquierda para que sume y sea positivo)
\( 2x \le 6 \)
\( x \le 3 \)
Los valores que cumplen esta condición son todos los números menores o iguales a 3.
\(-\infty\)
\(+\infty\)
3
∴ C.S. = \( \langle -\infty; 3 ] \)
Ejercicio 5:
05. Resuelve la siguiente inecuación y grafica su Conjunto Solución:
💡 Tip A+: ¡Aplica el Paso 2 de la guía! Como tenemos denominadores (2 y 4), calcula el Mínimo Común Múltiplo (MCM), que es 4. Multiplica ambos lados de la inecuación por 4 y las fracciones desaparecerán como por arte de magia.
¡Resolvamos paso a paso!
\( \color{#d97706}{4} \cdot \left(\frac{3x+1}{2}\right) > \color{#d97706}{4} \cdot \left(\frac{1}{4}\right) \)
(Multiplicamos todo por el MCM)
\( 2(3x + 1) > 1 \)
(¡Adiós fracciones!)
\( 6x + 2 > 1 \)
(Propiedad distributiva para quitar el paréntesis)
\( 6x > 1 – 2 \)
\( 6x > -1 \)
\( x > -\frac{1}{6} \)
El resultado nos indica que \(x\) toma valores estrictamente mayores a \(-1/6\).
\(-\infty\)
\(+\infty\)
\(-\frac{1}{6}\)
∴ C.S. = \( \langle -\frac{1}{6}; +\infty \rangle \)
Ejercicio 6:
06. Resuelve la siguiente inecuación y representa el conjunto solución en la recta numérica:
💡 Tip A+: ¡Fracciones a la vista! Aplica el Paso 2 (Chao Denominadores). El MCM de 2 y 3 es 6. Multiplica absolutamente todos los términos por 6 (¡no te olvides del 3 y del 4!) para trabajar solo con números enteros.
¡Resolvamos paso a paso!
\( \color{#d97706}{6} \cdot \left(\frac{x}{2}\right) + \color{#d97706}{6} \cdot (3) > \color{#d97706}{6} \cdot \left(\frac{x}{3}\right) + \color{#d97706}{6} \cdot (4) \)
\( 3x + 18 > 2x + 24 \)
(¡Una inecuación lineal súper fácil!)
\( 3x – 2x > 24 – 18 \)
(Letras a la izquierda, números a la derecha)
\( x > 6 \)
El resultado nos indica que \(x\) toma todos los valores estrictamente mayores a 6.
\(-\infty\)
\(+\infty\)
6
∴ C.S. = \( \langle 6; +\infty \rangle \)
Ejercicio 7:
07. Situación Aplicativa:
La tercera parte de cierto número entero, disminuido en 6, es mayor que 22. Además, la mitad del mismo número, disminuida en 4, es menor que 40. ¿Cuál es el mayor número entero que cumple esas condiciones?
💡 Tip A+: Tienes dos condiciones matemáticas separadas por la palabra «Además». Te sugiero plantear dos inecuaciones diferentes, resolverlas por separado y al final «cruzar» (intersectar) los resultados.
📊 Definimos la variable:
- \(x\): El número entero desconocido.
🚀 Paso 1: Traducimos el texto a inecuaciones (Planteo):
«La tercera parte de cierto número entero, disminuido en 6, es mayor que 22»
2. Segunda condición:
«La mitad del mismo número, disminuida en 4, es menor que 40»
⚙️ Paso 2: Resolvemos cada inecuación por separado:
\( \frac{x}{3} > 22 + 6 \)
\( \frac{x}{3} > 28 \)
\( x > 28 \cdot 3 \)
\( x > 84 \)
\( \frac{x}{2} < 40 + 4 \)
\( \frac{x}{2} < 44 \)
\( x < 44 \cdot 2 \)
\( x < 88 \)
🔍 Paso 3: Intersectamos e identificamos los valores enteros:
Como el problema nos dice que \(x\) es un número entero, listamos las únicas opciones posibles que están dentro de ese rango:
✅ Respuesta: La pregunta nos pide indicar el MAYOR número entero posible que cumple estas condiciones. Observando nuestras tres opciones, el número ganador es el 87.
Ejercicio 8:
08. Situación Aplicativa:
Se sabe que la cantidad de dinero (en soles) que tiene Dora es un número entero. Si el triple de dicha cantidad disminuida en 19 es menor que 69, ¿cuál es la mayor cantidad de dinero que puede tener Dora?
💡 Tip A+: ¡Cuidado con la comprensión lectora! Fíjate que la palabra «disminuida» está en femenino, por lo tanto, modifica a la «cantidad» y no al «triple» (que es masculino). Esto significa que la resta va entre paréntesis: primero restas y luego multiplicas por 3.
📊 Definimos la variable:
- \(x\): Cantidad de dinero de Dora (debe ser un número entero).
🚀 Paso 1: Traducimos el texto a la inecuación:
⚙️ Paso 2: Resolvemos la inecuación:
(¡Atajo A+! En vez de multiplicar, pasamos el 3 a dividir directamente)
\( x < 42 \)
🔍 Paso 3: Identificamos el valor pedido:
Como debe ser un número entero, los valores posibles son: \( \{ …, 39, 40, 41 \} \).
✅ Respuesta: Nos preguntan por la mayor cantidad de dinero posible. El número entero más grande antes de llegar al 42 es el 41.
Dora puede tener como máximo 41 soles.
Ejercicio 9:
09. Situación Aplicativa:
El triple de la cantidad de manzanas disminuido en uno que compró Coquito, es menor que dicha cantidad de manzanas aumentada en 3. ¿Cuántas manzanas compró Coquito?
💡 Tip A+: ¡El truco del género! A diferencia del ejercicio anterior, aquí la palabra «disminuido» está en masculino. Por lo tanto, no modifica a la «cantidad» (femenino), sino al «triple» (masculino). Esto significa que no hay paréntesis: primero multiplicas por 3 y a todo ese resultado le restas 1.
📊 Definimos la variable:
- \(x\): Cantidad de manzanas que compró Coquito. (Por lógica, debe ser un número entero y positivo, ¡no puedes comprar media manzana ni manzanas negativas!)
🚀 Paso 1: Traducimos el texto a la inecuación:
⚙️ Paso 2: Resolvemos la inecuación:
(Agrupamos las \(x\) a la izquierda y los números a la derecha)
\( x < 2 \)
🔍 Paso 3: Interpretamos el resultado en la vida real:
Analicemos: Coquito fue a comprar, así que compró al menos 1 manzana (\(x > 0\)). El único número entero positivo que es menor que 2, es el 1.
✅ Respuesta: Coquito compró 1 manzana.
Ejercicio 10:
10. Situación Aplicativa:
Laura y Nicolle participan, en pareja, en un concurso. Para pasar a la final, cada pareja debe tener más de 320 puntos. Si Laura tiene el doble de puntos que Nicolle, más 50 puntos, ¿cuántos puntos como mínimo debe tener Nicolle para que puedan pasar a la final?
💡 Tip A+: ¡Cuidado con la palabra «mínimo»! Aunque la pregunta diga «mínimo», la condición del concurso dice «más de 320 puntos» (símbolo \(>\)). Tu objetivo será resolver la inecuación y luego pensar cuál es el primer número entero que cumple esa condición de ser mayor.
📊 Definimos las variables:
- \(x\): Puntos de Nicolle.
- \(2x + 50\): Puntos de Laura (el doble que Nicolle, más 50).
🚀 Paso 1: Planteamos la inecuación total:
⚙️ Paso 2: Resolvemos la inecuación paso a paso:
(Sumamos \(x + 2x\))
(Pasamos el 50 a restar)
\( x > 90 \)
🔍 Paso 3: Interpretamos el resultado:
Las opciones de puntos posibles son: \( \{ 91, 92, 93, 94… \} \).
✅ Respuesta: El problema nos pide hallar cuántos puntos como mínimo (la cantidad más pequeña posible dentro de sus opciones) debe tener. Observando nuestro conjunto de opciones, el menor de todos es el 91.
Nicolle debe tener como mínimo 91 puntos.
¡Nivel Inecuaciones Lineales Completado!
Ya dominas la «Regla de Oro» de los signos, eres un experto eliminando fracciones con el MCM y sabes exactamente cómo traducir problemas de la vida real a desigualdades matemáticas. ¡El Conjunto Solución ya no tiene secretos para ti!
Tu Nuevo Objetivo: Ecuaciones Cuadráticas
Hasta ahora, nuestra incógnita \(x\) siempre ha estado soltera (exponente 1), dándonos un solo valor exacto o un intervalo. Pero, ¿qué pasa cuando la \(x\) se eleva al cuadrado (\(x^2\))? ¡Bienvenido al mundo donde un problema puede tener dos respuestas correctas al mismo tiempo!
La clave A+: El secreto de las ecuaciones cuadráticas será transformar sumas y restas en multiplicaciones. Aprenderemos la poderosa «Regla del Cero», donde resolveremos todo como si fuera un divertido rompecabezas matemático. ¡Nos vemos en el próximo nivel!