Progresiones Aritméticas
Por Joao / 11 de septiembre del 2026
Introducción a las Progresiones Aritméticas
¡Bienvenidos a una nueva aventura en A+mathmentor, Detectives! ¿Alguna vez has notado que el mundo está lleno de patrones matemáticos? Imagina que decides ahorrar y metes S/ 5 en tu alcancía cada semana. Tu dinero crecerá así cada lunes: 5, 10, 15, 20… ¡Felicidades, acabas de crear tu primera progresión aritmética! En matemáticas, una progresión no es más que una fila de números ordenados que siguen una «regla secreta».
Analiza la situación: Si te pregunto cuánto dinero tendrás en la semana 5, es muy fácil contarlo con los dedos. Pero, ¿y si te pregunto cuánto tendrás en la semana 150? ¡Sería súper aburrido y tardado escribir número por número hasta llegar ahí! Aquí es donde las matemáticas nos dan un verdadero superpoder: una «máquina del tiempo» en forma de fórmula que nos permitirá predecir el futuro de cualquier secuencia en cuestión de segundos, sin tener que escribir todo el proceso.
Nuestros Objetivos A+ en este capítulo:
- 1. Detectar el Patrón (La Razón): Aprenderemos a observar como detectives cualquier lista de números para descubrir cuál es el «salto» constante (sumando o restando) que los conecta.
- 2. La Máquina del Tiempo (Término Enésimo): Dominaremos una fórmula muy sencilla que nos permitirá viajar directamente a cualquier posición de la secuencia (como la posición 100 o 1000) de un solo salto.
- 3. Sumar como un Genio: Conoceremos el asombroso truco que inventó el matemático Carl Gauss cuando era un niño, el cual nos servirá para sumar una fila gigante de números en un abrir y cerrar de ojos.
«¿Estás listo para descubrir los patrones ocultos de las matemáticas y predecir el futuro de los números? ¡Acompáñame a descubrirlo!»
Saberes Previos
💡 Tip a+mathmentor: ¡La regla del orden importa!
En el mundo de las sucesiones, la posición de cada número es tan importante como el número en sí. No es lo mismo ser el primero en la fila que el quinto. ¡Siempre debes fijarte quién va primero, quién le sigue y cómo están ordenados!
Vamos a calentar nuestra mente matemática resolviendo estos 5 ejercicios básicos. ¡Dominar esta lógica te convertirá en un experto descubriendo patrones!
1. Lógica Visual: ¿Qué número sigue en la fila?
Si estás contando tus ahorros y ves que la cantidad aumenta de forma constante, tu cerebro ya sabe qué número sigue. Observa este patrón de números pares.
¿Qué estamos haciendo? Sumar +2
El siguiente número es: 8 + 2 = 10
2. Identificando el «Salto»: Secuencias Decrecientes
Las filas no siempre van hacia arriba. A veces los números bajan o se hacen más pequeños, como si fuera una cuenta regresiva.
¿Cómo pasamos del 20 al 15?
Restamos 5: El «salto» es -5
3. Ley de Signos Básica: Sumar números negativos
¡Cuidado con las deudas (números negativos)! Si estás en el piso -3 de un ascensor y decides bajar 2 pisos más (-2), ¿en qué piso terminas?
Bajas = -2
Piso Final: (-3) – 2 = -5
4. El lenguaje matemático: La incógnita «n»
En matemáticas nos encanta usar letras para reemplazar cosas que no sabemos. La letra «n» es famosa porque casi siempre representa la cantidad de números o la posición que estamos buscando.
Si buscamos la posición «10», entonces:
n = 10
5. Evaluando fórmulas simples: Reemplazar valores
Si tenemos una fórmula sencilla como (n – 1) y nos dicen que n = 5, lo único que debemos hacer es quitar la letra, poner el número y resolver.
Si n = 5, reemplazamos: (5 – 1)
Resultado: 4
Deducción de la Fórmula del Término General (un)
¡Hola de nuevo, Detectives! En este nivel de A+ Math Mentor, vamos a descubrir cómo funciona «La Máquina del Tiempo» de las progresiones aritméticas. Al igual que antes, usaremos las reglas de oro de la matemática: observar patrones claros y constantes. Vamos a deducir juntos cómo calcular cualquier término enésimo, denotado como \( u_n \), sin tener que escribir toda la fila de números. ¡Presta mucha atención!
💡 Tip a+mathmentor: ¡Visualiza los ‘saltos’!
En una progresión aritmética, cada número nuevo se forma dando un «salto» hacia adelante (sumando la razón \( d \)). Para calcular un término distante, simplemente necesitamos saber desde dónde empezamos (el primer término \( u_1 \)) y cuántos «saltos» necesitamos dar. ¡El secreto está en contar los saltos correctos!
Nuestra «Máquina del Tiempo» Matemática
Imagina que quieres calcular el número en la posición 100 de tu fila de ahorros que avanza de 5 en 5 (razón \( d=5 \)), partiendo desde el primer número \( u_1 \). Sumar 5 cien veces seguidas sería cansadísimo. ¡Encontremos un «atajo» digital! 👀
Observa atentamente cómo llegamos a cada término dando «saltos» constantes, sumando la razón \( d \). Para que el patrón sea perfectamente claro, vamos a ver la deducción paso a paso:
- 🔸 Posición 1: Aquí empezamos. Es el primer número, así que no damos ningún salto. \[ u_1 = u_1 \]
- 🔸 Posición 2: Para llegar aquí desde el primero, damos 1 salto. O sea, sumamos una vez la razón \( d \). \[ u_2 = u_1 + 1 \cdot d \]
- 🔸 Posición 3: Para llegar aquí, damos 2 saltos desde el primero. Sumamos la razón dos veces. \[ u_3 = u_1 + 2 \cdot d \]
- 🔸 Posición 4: Para llegar aquí, damos 3 saltos desde el primero. Sumamos la razón tres veces. \[ u_4 = u_1 + 3 \cdot d \]
- 🔸 Posición 5: Para llegar aquí, damos 4 saltos desde el primero. Sumamos la razón cuatro veces. \[ u_5 = u_1 + 4 \cdot d \]
¿Ves el truco escondido? ¡La cantidad de veces que sumamos la razón (las «d» que saltamos) es siempre UNO MENOS que la posición del término! 🤯 Si quiero la posición 10, doy 9 saltos (\( u_{10} = u_1 + 9d \)). Si quiero la posición 50, doy 49 saltos (\( u_{50} = u_1 + 49d \)).
Siguiendo esta lógica exacta, para calcular el número escondido en cualquier posición \( n \), necesitamos saber cuántos «saltos» dar. Desde el primer término \( u_1 \), necesitamos dar \( (n – 1) \) saltos. Así nace nuestra fórmula principal para calcular cualquier término enésimo \( u_n \):
\[ \color{#dc2626}{u_n} = \color{#0ea5e9}{u_1} + \color{#16a34a}{(n – 1)} \cdot \color{#ea580c}{d} \]
¡Pon a prueba tu Máquina del Tiempo!
Vamos a usar la lógica que acabamos de aprender con dos ejercicios sencillos. Recuerda la regla de oro: siempre necesitamos el primer término \( u_1 \) y la razón \( d \).
Calcula el término que está en la posición 10 (\( u_{10} \)) de la progresión aritmética: \[ 4, 9, 14, 19, 24… \]
Resolución Paso a Paso:
1. Identificamos los elementos: \[ u_1 = 4 \] \[ d = 9 – 4 = 5 \]
2. Queremos la posición 10, así que necesitamos dar \[ (10 – 1) = 9 \] saltos.
3. Aplicamos la lógica: Partimos de \( u_1 \) y damos 9 saltos. O sea, sumamos 5 nueve veces. \[ u_{10} = 4 + 9 \cdot 5 = 4 + 45 = \mathbf{49} \]
Calcula el término central de la progresión aritmética si sabemos que tiene 7 términos totales y que: \[ u_1 = 25 \] \[ d = 22 – 25 = -3 \]
Resolución Paso a Paso:
1. La progresión tiene 7 términos, así que el término central es el cuarto (\( u_4 \)). Queremos la posición 4.
2. Necesitamos dar \[ (4 – 1) = 3 \] saltos.
3. Aplicamos la lógica: Partimos de 25 y sumamos (-3) tres veces. \[ u_4 = 25 + 3 \cdot (-3) = 25 – 9 = \mathbf{16} \]
Conceptos Clave y Cálculo del Número de Términos (n)
¡Hola, Detectives de A+ Math Mentor! Ya sabemos deducir nuestra «Máquina del Tiempo». Ahora vamos a formalizar nuestro vocabulario matemático y a descubrir cómo calcular cuántos números hay en una fila entera. ¡Es como contar a todos los pasajeros de un tren sin tener que pasar asiento por asiento!
1. ¿Qué es y qué elementos tiene?
Una Progresión Aritmética es simplemente una sucesión de números donde cada término (cualquiera que sea diferente al primero) se obtiene sumándole al anterior una cantidad fija llamada razón. Para no escribir estas palabras tan largas, usamos el siguiente «alfabeto» matemático:
- 🔸 Primer término: \( u_1 \)
- 🔸 Último término (o de lugar n): \( u_n \)
- 🔸 Razón o diferencia: \( d \)
- 🔸 Número de términos: \( n \)
- 🔸 Suma de términos: \( S_n \)
- 🔸 Término central: \( t_c \)
💡 Tip a+mathmentor: ¡Cómo hallar la Razón (d)!
La razón o diferencia \( d \) se encuentra súper fácil: solo tienes que restar cualquier término menos su inmediato anterior.
Ejemplo: Si tienes \( 7, 10, 13… \), restas \( 10 – 7 = 3 \). ¡La razón es 3!
2. Clases de Progresiones Aritméticas
Ejemplo: \( 4, 9, 14, 19, 24… \) → \( d = 9 – 4 = \mathbf{5} \)
Ejemplo: \( 25, 22, 19, 16, 13… \) → \( d = 22 – 25 = \mathbf{-3} \)
3. Practicando nuestra Fórmula General
Vamos a aplicar la fórmula que aprendimos antes: \( u_n = u_1 + (n – 1) \cdot d \). Observa el paso a paso:
Halla el noveno término de: \( 7, 10, 13… \)
1. Identificamos: \( u_1 = 7 \), \( d = 3 \), buscamos la posición \( n = 9 \).
2. Reemplazamos: \[ u_9 = 7 + (9 – 1) \cdot 3 \]
3. Resolvemos: \[ u_9 = 7 + 24 = \mathbf{31} \]
Halla el término 30 de: \( 6, 9, 12, 15… \)
1. Identificamos: \( u_1 = 6 \), \( d = 3 \), buscamos la posición \( n = 30 \).
2. Reemplazamos: \[ u_{30} = 6 + (30 – 1) \cdot 3 \]
3. Resolvemos: \[ u_{30} = 6 + 87 = \mathbf{93} \]
4. ¿Cuántos números hay? (Número de términos «n»)
A veces nos dan el primer número y el último número, pero nos preguntan: ¿Cuántos números hay en total en la fila? ¡No tenemos que memorizar otra fórmula nueva! Podemos deducirla despejando la letra \( n \) de la ecuación que ya conocemos.
Como verdaderos detectives matemáticos, vamos a despejar paso a paso:
- 🔸 Paso 1: Empezamos con nuestra fórmula estrella. \[ u_n = u_1 + (n – 1) \cdot d \]
- 🔸 Paso 2: El \( u_1 \) está sumando, así que lo pasamos al otro lado restando. \[ u_n – u_1 = (n – 1) \cdot d \]
- 🔸 Paso 3: La razón \( d \) está multiplicando, la pasamos al otro lado dividiendo. \[ \frac{u_n – u_1}{d} = n – 1 \]
- 🔸 Paso 4: Por último, el \( -1 \) lo pasamos al otro lado sumando (\( +1 \)) para dejar a la \( n \) sola. \[ \frac{u_n – u_1}{d} + 1 = n \]
¡Lo logramos! Con este simple despeje, hemos descubierto la fórmula exacta para saber cuántos términos tiene cualquier progresión, siempre y cuando conozcamos al último, al primero y la razón:
\[ \color{#16a34a}{n} = \left( \frac{\color{#dc2626}{u_n} – \color{#0ea5e9}{u_1}}{\color{#ea580c}{d}} \right) + 1 \]
Propiedades Mágicas y la Suma de Gauss (\(S_n\))
¡Última etapa, Detectives! Ya sabemos encontrar cualquier número escondido y contar cuántos hay. Pero, ¿qué pasa si nos piden sumar toda la fila entera? Imagina sumar 50 o 100 números uno por uno… ¡Sería una locura! Afortunadamente, las progresiones aritméticas tienen un comportamiento simétrico y mágico que nos salvará la vida.
1. ¿Qué es la «Ley de Formación»?
En muchos ejercicios o exámenes verás que te preguntan por la «Ley de Formación». ¡No te asustes! No es una fórmula nueva. La Ley de Formación es simplemente la fórmula del término enésimo (\(u_n\)) adaptada específicamente para tu progresión.
Para hallarla, solo tomas la fórmula general \(u_n = u_1 + (n – 1) \cdot d\), reemplazas el primer término (\(u_1\)) y la razón (\(d\)), y resuelves todo lo que puedas dejando la letra \(n\) como única incógnita.
Ejemplo rápido: Hallar la Ley de Formación de \(4, 7, 10, 13…\)Sabemos que \(u_1 = 4\) y \(d = 3\). Reemplazamos:
\[ u_n = 4 + (n – 1) \cdot 3 \] Multiplicamos el 3: \[ u_n = 4 + 3n – 3 \] Simplificamos: \[ u_n = 3n + 1 \]
¡Esa expresión (\(3n + 1\)) es la Ley de Formación! Con ella puedes hallar cualquier término rapidísimo.
2. La Propiedad de los Extremos (El efecto «Arcoíris»)
En toda progresión aritmética, si sumas el primer número con el último, te dará exactamente el mismo resultado que sumar el segundo con el penúltimo, y así sucesivamente. ¡Se forman parejas perfectas que valen lo mismo!
- Pareja 1 (Extremos): \( 6 + 27 = \mathbf{33} \)
- Pareja 2: \( 9 + 24 = \mathbf{33} \)
- Pareja 3: \( 12 + 21 = \mathbf{33} \)
- Pareja 4 (Centrales): \( 15 + 18 = \mathbf{33} \)
💡 Tip a+mathmentor: ¡El ingenio del niño Gauss!
Hace más de 200 años, un profesor castigó a sus alumnos pidiéndoles sumar todos los números del 1 al 100. Un niño de 9 años llamado Carl Friedrich Gauss entregó la respuesta casi al instante. ¿Cómo lo hizo?
Gauss notó el «efecto arcoíris»: \( 1+100 = 101 \), \( 2+99 = 101 \), \( 3+98 = 101 \)… Se dio cuenta de que si tenía 100 números, podía armar 50 parejas perfectas. Solo multiplicó \( 101 \times 50 = 5050 \). ¡Esa es la base de nuestra siguiente fórmula!
3. Fórmula General de la Suma (\(S_n\))
Siguiendo el razonamiento de Gauss, para sumar cualquier progresión aritmética completa (\( S_n \)), solo debemos sumar los extremos (para saber cuánto vale la pareja) y multiplicarlo por la cantidad total de números (\( n \)) dividida entre 2, que representa la cantidad de parejas. Matemáticamente, lo escribimos así:
\[ \color{#16a34a}{S_n} = \left( \frac{\color{#0ea5e9}{u_1} + \color{#dc2626}{u_n}}{2} \right) \cdot \color{#ea580c}{n} \]
4. Ejercicio Nivel Experto
\[ 12, 19, 26, \dots , 180 \]
¡Alerta Detective! Tenemos el primer término (\( u_1 = 12 \)) y el último (\( u_n = 180 \)), pero para usar la fórmula de Gauss nos falta un dato crucial: ¡No sabemos cuántos números hay en total (\( n \))! Debemos usar nuestra fórmula que ya conocemos.
Paso 1: Hallar la razón (\( d \)) y la cantidad de términos (\( n \)).
Restamos para la razón: \( d = 19 – 12 = 7 \).
Aplicamos la fórmula de cantidad de términos:
\[ n = \left( \frac{180 – 12}{7} \right) + 1 \]
\[ n = \left( \frac{168}{7} \right) + 1 \]
\[ n = 24 + 1 = \mathbf{25} \text{ términos en total.} \]
Paso 2: Aplicar la Suma de Gauss (\( S_{25} \)).
Ahora que sabemos que hay 25 números, los sumamos todos:
\[ S_{25} = \left( \frac{12 + 180}{2} \right) \cdot 25 \]
\[ S_{25} = \left( \frac{192}{2} \right) \cdot 25 \]
\[ S_{25} = (96) \cdot 25 = \mathbf{2400} \]
Entrenamiento A+
¡Es hora de la acción, Detectives! Aquí tienes tus misiones prácticas guiadas. Analiza los datos de cada caso, aplica la fórmula correcta y compara tu procedimiento paso a paso con la solución del mentor.
Ejercicio 1:
Establece la ley de formación de las siguientes progresiones:
- a) \( 13, 20, 27, 34, \dots \)
- b) \( 68, 59, 50, 41, \dots \)
💡 Tip A+ Math: ¡Recuerda tu objetivo!
La ley de formación no es un número final, es una «fórmula personalizada» para esa fila específica. Solo debemos reemplazar el primer término (\(u_1\)) y la razón (\(d\)) en nuestra Máquina del Tiempo \( u_n = u_1 + (n-1)d \) y resolver hasta que la letra n quede solita.
Resolución paso a paso:
-
CASO A: \( 13, 20, 27, 34 \dots \)
Paso 1: Identificamos los datos clave. El primer término es \( u_1 = 13 \). Para hallar la razón (\(d\)), restamos un término menos el anterior: \( 20 – 13 = 7 \). Como va subiendo, la razón es positiva (\( d = 7 \)).
Paso 2: Reemplazamos en la fórmula general:
\[ u_n = 13 + (n – 1) \cdot 7 \]Paso 3: El 7 multiplica a todo lo que está dentro del paréntesis (propiedad distributiva):
\[ u_n = 13 + 7n – 7 \]Paso 4: Juntamos los números solitos (\( 13 – 7 = 6 \)):
\[ u_n = 7n + 6 \] -
CASO B: \( 68, 59, 50, 41 \dots \)
Paso 1: Identificamos datos. El primer término es \( u_1 = 68 \). Calculamos la razón restando: \( 59 – 68 = -9 \). ¡Cuidado con el signo negativo, la fila va bajando!
Paso 2: Reemplazamos en la fórmula general:
\[ u_n = 68 + (n – 1) \cdot (-9) \]Paso 3: El -9 multiplica al paréntesis (ley de signos: menos por más es menos, menos por menos es más):
\[ u_n = 68 – 9n + 9 \]Paso 4: Sumamos los números solitos (\( 68 + 9 = 77 \)):
\[ u_n = 77 – 9n \]
Leyes de formación finales:
a) \( u_n = 7n + 6 \)
b) \( u_n = 77 – 9n \)
Ejercicio 2:
Si \( a_{12} = 54 \) y \( d = 4 \), representa una expresión algebraica para determinar el término general.
💡 Tip A+ Math: ¡No dejes que te engañen!
Algunos libros usan la letra «a» en lugar de la «u» para los términos (como \( a_n \) en vez de \( u_n \)). ¡Es exactamente lo mismo! Además, recuerda que «expresión algebraica» o «término general» significa hallar la Ley de Formación. Para lograrlo, obligatoriamente necesitamos conocer el primer término (\( a_1 \)). ¡Vamos a buscarlo!
Resolución paso a paso:
-
Paso 1: Usamos nuestra fórmula de la «Máquina del Tiempo» al revés para descubrir quién es el primer término (\( a_1 \)). Sabemos que la posición 12 vale 54.
\[ a_{12} = a_1 + (12 – 1) \cdot d \] -
Paso 2: Reemplazamos los datos que sí conocemos (\( a_{12} = 54 \) y \( d = 4 \)) y resolvemos:
\[ 54 = a_1 + (11) \cdot 4 \] \[ 54 = a_1 + 44 \] \[ 54 – 44 = a_1 \] \[ \mathbf{a_1 = 10} \]¡Genial! Ya descubrimos que el primer número de la fila es el 10.
-
Paso 3: Ahora sí, construimos la expresión algebraica (Ley de Formación). Reemplazamos \( a_1 = 10 \) y \( d = 4 \) en la fórmula general y dejamos la letra n sola:
\[ a_n = 10 + (n – 1) \cdot 4 \] -
Paso 4: Multiplicamos el 4 (propiedad distributiva) y juntamos los números solitos (\( 10 – 4 = 6 \)):
\[ a_n = 10 + 4n – 4 \] \[ a_n = 4n + 6 \]
Expresión algebraica (Término general):
\[ a_n = 4n + 6 \]
Ejercicio 3:
Luego de establecer los modelos de cada una de las siguientes progresiones, escriba los términos que se indican:
- a) El término 20 en: \( 1, 6, 11, 16 \dots \)
- b) El término 16 en: \( 3, 7, 11, 15 \dots \)
💡 Tip A+ Math: ¡Misión de dos fases!
En matemáticas, la palabra «modelo» es exactamente lo mismo que la Ley de Formación o el Término General. El ejercicio nos pide hacer dos cosas: primero crear la fórmula con la letra \(n\), y luego usar esa misma fórmula reemplazando la \(n\) por la posición que nos piden. ¡Vamos a ello!
Resolución paso a paso:
-
CASO A: El término 20 en \( 1, 6, 11, 16 \dots \)
Paso 1: Hallar los datos. El primer término es \( u_1 = 1 \). La razón se halla restando: \( 6 – 1 = 5 \). O sea, \( d = 5 \).
Paso 2: Establecer el modelo (Ley de formación). Reemplazamos en la fórmula general \( u_n = u_1 + (n – 1)d \):
\[ u_n = 1 + (n – 1) \cdot 5 \] \[ u_n = 1 + 5n – 5 \] \[ \mathbf{u_n = 5n – 4} \] (¡Este es el modelo!)Paso 3: Hallar el término 20 (\( u_{20} \)). Ahora que tenemos nuestro modelo súper rápido, solo cambiamos la \( n \) por 20:
\[ u_{20} = 5 \cdot (20) – 4 \] \[ u_{20} = 100 – 4 \]\[ u_{20} = 96 \] -
CASO B: El término 16 en \( 3, 7, 11, 15 \dots \)
Paso 1: Hallar los datos. El primer término es \( u_1 = 3 \). La razón se halla restando: \( 7 – 3 = 4 \). O sea, \( d = 4 \).
Paso 2: Establecer el modelo (Ley de formación). Reemplazamos en la fórmula general:
\[ u_n = 3 + (n – 1) \cdot 4 \] \[ u_n = 3 + 4n – 4 \] \[ \mathbf{u_n = 4n – 1} \] (¡Este es el modelo!)Paso 3: Hallar el término 16 (\( u_{16} \)). Reemplazamos la \( n \) por 16 en nuestro nuevo modelo:
\[ u_{16} = 4 \cdot (16) – 1 \] \[ u_{16} = 64 – 1 \]\[ u_{16} = 63 \]
Respuestas Finales:
a) El modelo es \( u_n = 5n – 4 \) y el término 20 vale 96.
b) El modelo es \( u_n = 4n – 1 \) y el término 16 vale 63.
Ejercicio 4:
María menciona que el modelo de la siguiente progresión aritmética: \( 126, 131, 136, 141 \dots \) es:
Evalúe si los siguientes términos forman parte de dicho modelo:
- a) 321
- b) 426
💡 Tip A+ Math: ¡El detector de impostores!
¿Cómo saber si un número pertenece a la fila o es un intruso? ¡Fácil! Recuerda que la letra n representa la posición (asiento 1, asiento 2, asiento 3…). ¡No existen posiciones con decimales como el «asiento 4.5»! Si al igualar el número con el modelo descubrimos que \(n\) es un número entero exacto, entonces sí pertenece. Si sale decimal o fracción, es un impostor.
Resolución paso a paso:
-
CASO A: ¿El número 321 pertenece al modelo?
Paso 1: Reemplazamos \( u_n \) por 321 y planteamos la ecuación:
\[ 321 = 5n + 121 \]Paso 2: Despejamos \( n \). El 121 pasa a restar:
\[ 321 – 121 = 5n \] \[ 200 = 5n \]Paso 3: El 5 pasa a dividir:
\[ \frac{200}{5} = n \]\[ 40 = n \]¡Es un número entero exacto! Por lo tanto, SÍ pertenece (es el término de la posición 40).
-
CASO B: ¿El número 426 pertenece al modelo?
Paso 1: Igualamos el modelo a 426:
\[ 426 = 5n + 121 \]Paso 2: Despejamos \( n \). El 121 pasa a restar:
\[ 426 – 121 = 5n \] \[ 305 = 5n \]Paso 3: El 5 pasa a dividir:
\[ \frac{305}{5} = n \]\[ 61 = n \]¡También salió exacto! Por lo tanto, SÍ pertenece (es el término de la posición 61).
Respuesta Final:
a) SÍ forma parte del modelo (\(u_{40}\)).
b) SÍ forma parte del modelo (\(u_{61}\)).
Ejercicio 5:
Utilice el algoritmo correspondiente para determinar la suma:
- a) De los 10 primeros términos de: \( 41, 46, 51 \dots \)
💡 Tip A+ Math: ¿Qué es un algoritmo?
¡No dejes que esa palabra te asuste! Un «algoritmo» es solo una receta matemática o los pasos ordenados que debemos seguir. Para sumar términos, nuestra receta tiene dos pasos obligatorios: primero, necesitamos conocer quién es el último invitado de la lista (el término 10), y segundo, usar la fórmula de la suma de Gauss. ¡Manos a la obra!
Resolución paso a paso:
-
Paso 1: Identificar nuestros datos iniciales.
Viendo la progresión \( 41, 46, 51 \dots \) sabemos que:
🔸 Primer término: \( u_1 = 41 \)
🔸 Razón: \( d = 46 – 41 = 5 \)
🔸 Cantidad de términos a sumar: \( n = 10 \)Paso 2: Hallar el término 10 (\( u_{10} \)).
Para aplicar la suma de Gauss, necesitamos saber qué número está sentado en la posición 10. Usamos nuestra fórmula del término general:\[ u_{10} = u_1 + (10 – 1) \cdot d \] \[ u_{10} = 41 + (9) \cdot 5 \] \[ u_{10} = 41 + 45 \]\[ u_{10} = 86 \]¡Listo! El último número de nuestra lista a sumar es el 86.
Paso 3: Aplicar la Suma de Gauss (\( S_{10} \)).
Ahora sumamos el primer término (41) con el último (86), lo dividimos entre 2 y lo multiplicamos por la cantidad de términos (10):\[ S_{10} = \left( \frac{41 + 86}{2} \right) \cdot 10 \]Truco: Podemos simplificar el 10 con el 2 para hacerlo más fácil (la mitad de 10 es 5):
\[ S_{10} = (127) \cdot 5 \]\[ S_{10} = 635 \]
Respuesta Final:
La suma de los 10 primeros términos es 635.
Ejercicio 6:
Dada la siguiente progresión aritmética, calcula el valor del término que se encuentra en la posición 20 (\( u_{20} \)):
💡 Tip A+ Math: ¡Recolecta tus pistas!
Antes de usar tu «Máquina del Tiempo» (la fórmula general), siempre debes tener dos pistas listas: quién inicia la fila (\(u_1\)) y de cuánto en cuánto avanzan los saltos (\(d\)).
Resolución paso a paso:
-
Paso 1: Identificamos nuestros datos viendo la progresión:
🔸 Primer término: \( u_1 = 5 \)
🔸 Razón: \( d = 8 – 5 = 3 \) (avanza de 3 en 3).
🔸 Posición buscada: \( n = 20 \) -
Paso 2: Reemplazamos las pistas en nuestra fórmula:
\[ u_{20} = u_1 + (20 – 1) \cdot d \] \[ u_{20} = 5 + (19) \cdot 3 \] -
Paso 3: Resolvemos primero la multiplicación y luego sumamos:
\[ u_{20} = 5 + 57 \]\[ u_{20} = 62 \]
El término en la posición 20 es 62.
Ejercicio 7:
¿Cuántos números en total (cantidad de términos «\( n \)») tiene la siguiente progresión aritmética?
💡 Tip A+ Math: ¡El atajo para contar!
Cuando necesites contar cuántos números hay en una fila, no uses la fórmula normal. ¡Usa la versión despejada que aprendimos! Solo restas el último menos el primero, lo divides entre la razón, y al final le sumas 1.
Resolución paso a paso:
-
Paso 1: Recolectamos los datos de los extremos:
🔸 Primer término: \( u_1 = 10 \)
🔸 Último término: \( u_n = 90 \)
🔸 Razón: \( d = 14 – 10 = 4 \) -
Paso 2: Aplicamos la fórmula directa para hallar «\( n \)».
\[ n = \left( \frac{u_n – u_1}{d} \right) + 1 \] \[ n = \left( \frac{90 – 10}{4} \right) + 1 \] -
Paso 3: Resolvemos la resta, dividimos y sumamos el 1:
\[ n = \left( \frac{80}{4} \right) + 1 \] \[ n = 20 + 1 \]\[ n = 21 \]
La progresión tiene un total de 21 términos.
Ejercicio 8:
Utilizando el razonamiento de Gauss, calcula la suma de los 15 primeros términos de la siguiente progresión:
💡 Tip A+ Math: ¡Paso a paso!
¡Cuidado! No podemos aplicar la suma de Gauss si no sabemos quién es el último invitado de la lista (el término 15). Siempre debes hallar ese último número primero antes de intentar sumar.
Resolución paso a paso:
-
Paso 1: Identificar datos.
Primer término: \( u_1 = 2 \)
Razón: \( d = 7 – 2 = 5 \)
Términos a sumar: \( n = 15 \) -
Paso 2: Hallar el término 15 (\( u_{15} \)).
\[ u_{15} = 2 + (15 – 1) \cdot 5 \] \[ u_{15} = 2 + 14 \cdot 5 \] \[ u_{15} = 2 + 70 = \mathbf{72} \] -
Paso 3: Aplicar la Suma de Gauss (\( S_{15} \)).
Sumamos el primero (\(2\)) con el último (\(72\)), lo dividimos entre 2 y lo multiplicamos por la cantidad (\(15\)):\[ S_{15} = \left( \frac{2 + 72}{2} \right) \cdot 15 \] \[ S_{15} = \left( \frac{74}{2} \right) \cdot 15 \] \[ S_{15} = (37) \cdot 15 \]\[ S_{15} = 555 \]
La suma de los 15 primeros términos es 555.
Ejercicio 9:
Pablo hizo mensualmente pagos a su banco por un préstamo. Los pagos de los primeros cinco meses fueron $ 55, $ 52, $ 49, $ 46, $ 43.
- a) Escribe una expresión para la ley de formación de los términos de esta secuencia.
- b) Halla la cantidad del duodécimo pago.
💡 Tip A+ Math: ¡Traductor Matemático!
En los problemas de la vida real, debes estar muy atento a dos cosas: 1) Si los pagos de Pablo van disminuyendo, ¡nuestra razón será negativa! y 2) La palabra «duodécimo» significa que nos piden averiguar lo que pasa en la posición número 12 (\(n = 12\)). ¡Con eso en mente, resolver este caso será pan comido!
Resolución paso a paso:
-
PARTE A: Ley de formación
Paso 1: Identificar datos. El primer pago es \( u_1 = 55 \). La razón se halla restando el segundo pago menos el primero: \( 52 – 55 = -3 \). O sea, \( d = -3 \) (cada mes paga $3 menos).
Paso 2: Establecer el modelo. Reemplazamos en la fórmula general \( u_n = u_1 + (n – 1)d \) y aplicamos la ley de signos con mucho cuidado:
\[ u_n = 55 + (n – 1) \cdot (-3) \] \[ u_n = 55 – 3n + 3 \]Paso 3: Juntar los números. Sumamos los valores sueltos (\( 55 + 3 = 58 \)):
\[ u_n = 58 – 3n \] -
PARTE B: Cantidad del duodécimo pago (\(u_{12}\))
Único Paso: Como ya hicimos el trabajo duro en la Parte A y tenemos nuestra súper fórmula (ley de formación), solo debemos reemplazar la letra \( n \) por el número 12, que representa al duodécimo mes:
\[ u_{12} = 58 – 3 \cdot (12) \] \[ u_{12} = 58 – 36 \]\[ u_{12} = 22 \]
Respuestas Finales:
a) La expresión para la ley de formación es \( u_n = 58 – 3n \).
b) En el duodécimo mes, Pablo pagará la cantidad de $ 22.
Ejercicio 10:
Arturo va a nadar cada semana. Nada 200 metros en la primera semana. Cada semana nada 30 metros más que la semana anterior. Continúa así durante un año (52 semanas).
- a) ¿Qué distancia nada Arturo la última semana?
- b) ¿Qué distancia total nadó Arturo al finalizar el año?
💡 Tip A+ Math: ¡Traductor de Problemas!
En los problemas con historias, debemos traducir las palabras a lenguaje matemático. Si Arturo nada un año entero (52 semanas), entonces la «última semana» significa hallar el término 52 (\(u_{52}\)). Y cuando nos preguntan por la distancia «total» de todo el año, ¡nos están pidiendo aplicar la Suma de Gauss (\(S_{52}\))!
Resolución paso a paso:
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PARTE A: Distancia de la última semana (\(u_{52}\))
Paso 1: Identificar datos. Arturo empieza nadando 200 metros (\( u_1 = 200 \)). Cada semana aumenta 30 metros, esa es nuestra razón (\( d = 30 \)). Queremos saber cuánto nadó exactamente en la semana número 52 (\( n = 52 \)).
Paso 2: Aplicar la fórmula del término general. Recuerda que daremos \((52 – 1) = 51\) saltos.
\[ u_{52} = 200 + (52 – 1) \cdot 30 \] \[ u_{52} = 200 + 51 \cdot 30 \]Paso 3: Multiplicar y sumar. (Truco: 51 × 3 = 153, y le agregamos el cero):
\[ u_{52} = 200 + 1530 = 1730 \]Solo en esa última semana, Arturo nadó 1 730 metros.
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PARTE B: Distancia total al finalizar el año (\(S_{52}\))
Paso 1: Preparar la Suma de Gauss. Ya tenemos el primer valor (\( 200 \)) y acabamos de descubrir el último valor (\( 1730 \)). La cantidad total de semanas es 52.
Paso 2: Reemplazar en la fórmula. Sumamos los extremos y multiplicamos por \( \frac{52}{2} \):
\[ S_{52} = \left( \frac{200 + 1730}{2} \right) \cdot 52 \]Paso 3: Resolver. Primero hacemos la suma de arriba y podemos simplificar el 52 entre 2 para que sea más fácil (\( 52 \div 2 = 26 \)):
\[ S_{52} = (1930) \cdot 26 \]\[ S_{52} = 50\,180 \]
Respuestas Finales:
a) En la última semana nadó 1 730 metros.
b) En total durante el año nadó 50 180 metros.
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