Por /

PRODUCTOS NOTABLES

Por Joao / 9 de enero de 2026

🎯 Objetivos de esta lección:

  • Comprender el concepto: Entender que los productos notables son fórmulas que nos permiten encontrar el resultado de una multiplicación algebraica de forma directa y sin hacerla paso a paso.
  • Dominar las fórmulas principales: Memorizar y aplicar correctamente identidades clave como el Binomio al Cuadrado y la Diferencia de Cuadrados.
  • Desarrollar agilidad mental: Identificar visualmente qué producto notable usar en diferentes ejercicios para ahorrar tiempo y evitar errores operativos.

📘 Introducción: Los «Atajos» del Álgebra

En nuestra clase anterior aprendimos a multiplicar polinomios aplicando la propiedad distributiva término a término. Sin embargo, en matemáticas existen ciertas multiplicaciones que se repiten con tanta frecuencia que sus resultados siempre siguen un mismo patrón. A estas multiplicaciones especiales las llamamos Productos Notables.

Piensa en ellos como «atajos secretos». Si logras identificar el patrón del ejercicio, puedes aplicar una fórmula y llegar directo a la respuesta final, saltándote todo el proceso largo de multiplicar y reducir términos semejantes. ¡Esto te ahorrará muchísimo tiempo!

En esta lección estudiaremos las fórmulas más importantes. Prepárate para agilizar tu mente, ¡porque vamos a llevar tu nivel de álgebra al modo experto!

CONCEPTOS PREVIOS:

Recordemos algunas propiedades que vimos en el tema anterior y veamos algunos ejemplos:

🔑 Repaso Rápido: La Propiedad Distributiva

Para entender los Productos Notables, primero debemos recordar cómo multiplicábamos polinomios usando la propiedad distributiva (multiplicando término a término). Observa estos ejemplos:

  • Ejemplo 1:
    \( 5(x+2) = 5x + 10 \)
  • Ejemplo 2:
    \( (y+4)7 = 7y + 28 \)
  • Ejemplo 3:
    \( 3(z-8) = 3z – 24 \)
  • Ejemplo 4 (Polinomio por Polinomio):
    \( (x+2)(x+7) = x^2 + 7x + 2x + 14 = x^2 + 9x + 14 \)
🛑 El «Camino Largo» (Usando Distributiva):

¿Qué pasa si tenemos un binomio elevado al cuadrado como \( (x+y)^2 \)? Por definición de exponente, esto significa multiplicar la base por sí misma: \( (x+y)(x+y) \). Si aplicamos la propiedad distributiva paso a paso, tendríamos:

\( (x+y)^2 = \color{#cc0000}{x}(x+y) \color{#2986cc}{+ y}(x+y) \)
\( = x^2 + xy + xy + y^2 \)
\( = x^2 + 2xy + y^2 \)
Veámoslo con otro ejemplo:
\( (x+3)^2 = (x+3)(x+3) = x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9 \)
🚀 El «Atajo» (Producto Notable):

Como puedes ver, hacer la distributiva cada vez es un proceso lento. ¡Pero los matemáticos notaron que el patrón siempre es el mismo! Por lo tanto, podemos saltarnos todo el proceso y aplicar directamente esta fórmula:

\( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)

«El cuadrado del primero, más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.»

Como puedes observar el resultado de algunas multiplicaciones se pueden obtener de manera directa sin necesidad de efectuar dicha multiplicación, a esos resultados los conocemos como PRODUCTOS NOTABLES, a estos productos notables también se les conoce como IDENTIDADES ALGEBRAICAS.

PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES:

1. Cuadrado de un Binomio (Suma)

Regla verbal: El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más el doble del producto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término.

Fórmula General:
\( (\color{#cc0000}{x} + \color{#2986cc}{y})^2 = \color{#cc0000}{x}^2 + 2\color{#cc0000}{x}\color{#2986cc}{y} + \color{#2986cc}{y}^2 \)
Ejemplo 1:
\( (\color{#cc0000}{x} + \color{#2986cc}{6})^2 = (\color{#cc0000}{x})^2 + 2(\color{#cc0000}{x})(\color{#2986cc}{6}) + (\color{#2986cc}{6})^2 \)
Resolvemos las potencias y la multiplicación central:
\( = x^2 + 12x + 36 \)
Ejemplo 2:
\( (\color{#cc0000}{3x} + \color{#2986cc}{2})^2 = (\color{#cc0000}{3x})^2 + 2(\color{#cc0000}{3x})(\color{#2986cc}{2}) + (\color{#2986cc}{2})^2 \)
¡Cuidado aquí! El cuadrado afecta tanto al número 3 como a la letra «x» en el primer término:
\( = 9x^2 + 12x + 4 \)
2. Cuadrado de un Binomio (Resta)

Regla verbal: El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término menos el doble del producto del primer término por el segundo término más el cuadrado del segundo término.

Fórmula General (Nota que solo cambia el primer signo):
\( (\color{#cc0000}{x} – \color{#2986cc}{y})^2 = \color{#cc0000}{x}^2 – 2\color{#cc0000}{x}\color{#2986cc}{y} + \color{#2986cc}{y}^2 \)
Ejemplo 1:
\( (\color{#cc0000}{x} – \color{#2986cc}{3})^2 = (\color{#cc0000}{x})^2 – 2(\color{#cc0000}{x})(\color{#2986cc}{3}) + (\color{#2986cc}{3})^2 \)
Resolvemos las potencias y la multiplicación central respetando el signo menos:
\( = x^2 – 6x + 9 \)
Ejemplo 2:
\( (\color{#cc0000}{2x} – \color{#2986cc}{1})^2 = (\color{#cc0000}{2x})^2 – 2(\color{#cc0000}{2x})(\color{#2986cc}{1}) + (\color{#2986cc}{1})^2 \)
¡Recuerda! El cuadrado afecta tanto al número 2 como a la letra «x» en el primer término:
\( = 4x^2 – 4x + 1 \)
3. Identidades de Legendre

¿Qué pasaría si combinamos los dos binomios al cuadrado que acabamos de aprender? Sean las identidades:

\( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \quad … (1) \)
\( (x-y)^2 = x^2 – 2xy + y^2 \quad … (2) \)

Si sumamos o restamos estas ecuaciones miembro a miembro, ¡los términos centrales se anulan o se duplican, creando dos de los atajos más poderosos del álgebra!

Si sumamos (1) y (2):
\( (\color{#cc0000}{x}+\color{#2986cc}{y})^2 + (\color{#cc0000}{x}-\color{#2986cc}{y})^2 = 2(\color{#cc0000}{x}^2 + \color{#2986cc}{y}^2) \)
Si restamos (1) y (2):
\( (\color{#cc0000}{x}+\color{#2986cc}{y})^2 – (\color{#cc0000}{x}-\color{#2986cc}{y})^2 = 4\color{#cc0000}{x}\color{#2986cc}{y} \)
Ejemplos de Aplicación (Identidad de la Suma):
Ejemplo 1:
\( (\color{#cc0000}{x} + \color{#2986cc}{6})^2 + (\color{#cc0000}{x} – \color{#2986cc}{6})^2 = 2((\color{#cc0000}{x})^2 + (\color{#2986cc}{6})^2) \)
\( = 2(x^2 + 36) \)
\( = 2x^2 + 72 \)
Ejemplo 2:
\( (\color{#cc0000}{3x} + \color{#2986cc}{2})^2 + (\color{#cc0000}{3x} – \color{#2986cc}{2})^2 = 2((\color{#cc0000}{3x})^2 + (\color{#2986cc}{2})^2) \)
\( = 2(9x^2 + 4) \)
\( = 18x^2 + 8 \)
4. Producto de la suma por la diferencia de dos términos

Regla verbal: El producto de la suma por la diferencia de dos términos, es igual a la diferencia de los cuadrados de estos términos.

Fórmula General:
\( (\color{#cc0000}{x} + \color{#2986cc}{y})(\color{#cc0000}{x} – \color{#2986cc}{y}) = \color{#cc0000}{x}^2 – \color{#2986cc}{y}^2 \)
Ejemplo 1:
\( (\color{#cc0000}{x} + \color{#2986cc}{9})(\color{#cc0000}{x} – \color{#2986cc}{9}) = (\color{#cc0000}{x})^2 – (\color{#2986cc}{9})^2 \)
Elevamos cada término al cuadrado y mantenemos el signo menos en el medio:
\( = x^2 – 81 \)
Ejemplo 2:
\( (\color{#cc0000}{x} – \color{#2986cc}{5})(\color{#cc0000}{x} + \color{#2986cc}{5}) = (\color{#cc0000}{x})^2 – (\color{#2986cc}{5})^2 \)
¡Nota que no importa si el paréntesis con el signo menos está primero! El resultado es exactamente el mismo:
\( = x^2 – 25 \)
5. Identidad de Stevin (Binomios con un Término Común)

Regla verbal: La multiplicación de dos binomios con un término en común es igual al cuadrado del término común, más la suma de los términos no comunes multiplicada por el término común, más el producto de los términos no comunes.

Fórmula General:
\( (x + \color{#cc0000}{a})(x + \color{#2986cc}{b}) = x^2 + (\color{#cc0000}{a} + \color{#2986cc}{b})x + \color{#cc0000}{a}\color{#2986cc}{b} \)
Ejemplo 1:
\( (x + \color{#cc0000}{3})(x + \color{#2986cc}{5}) = x^2 + (\color{#cc0000}{3} + \color{#2986cc}{5})x + (\color{#cc0000}{3})(\color{#2986cc}{5}) \)
Sumamos en el medio y multiplicamos al final:
\( = x^2 + 8x + 15 \)
Ejemplo 2:
\( (x – \color{#cc0000}{8})(x + \color{#2986cc}{5}) = x^2 + (\color{#cc0000}{-8} + \color{#2986cc}{5})x + (\color{#cc0000}{-8})(\color{#2986cc}{5}) \)
¡Mucha atención! Cada término no común conserva su signo. Hacemos la resta en el medio y aplicamos ley de signos al final:
\( = x^2 – 3x – 40 \)
6. Cubo de un Binomio (Suma y Resta)

Regla verbal: El cubo de un binomio es igual al cubo del primer término, más (o menos) el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más (o menos) el cubo del segundo.

Fórmulas Generales (¡Nota que en la resta los signos van intercalados!):
\( (\color{#cc0000}{a} + \color{#2986cc}{b})^3 = \color{#cc0000}{a}^3 + 3\color{#cc0000}{a}^2\color{#2986cc}{b} + 3\color{#cc0000}{a}\color{#2986cc}{b}^2 + \color{#2986cc}{b}^3 \)
\( (\color{#cc0000}{a} – \color{#2986cc}{b})^3 = \color{#cc0000}{a}^3 – 3\color{#cc0000}{a}^2\color{#2986cc}{b} + 3\color{#cc0000}{a}\color{#2986cc}{b}^2 – \color{#2986cc}{b}^3 \)
Ejemplo 1 (Con Suma):
\( (\color{#cc0000}{x} + \color{#2986cc}{2})^3 = (\color{#cc0000}{x})^3 + 3(\color{#cc0000}{x})^2(\color{#2986cc}{2}) + 3(\color{#cc0000}{x})(\color{#2986cc}{2})^2 + (\color{#2986cc}{2})^3 \)
Multiplicamos los números en cada bloque:
\( = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \)
Ejemplo 2 (Con Resta):
\( (\color{#cc0000}{5x} – \color{#2986cc}{3})^3 = (\color{#cc0000}{5x})^3 – 3(\color{#cc0000}{5x})^2(\color{#2986cc}{3}) + 3(\color{#cc0000}{5x})(\color{#2986cc}{3})^2 – (\color{#2986cc}{3})^3 \)
¡Paso clave! Recuerda resolver primero las potencias antes de multiplicar. Por ejemplo: \( (5x)^2 = 25x^2 \) y \( (3)^2 = 9 \)
\( = 125x^3 – 3(25x^2)(3) + 3(5x)(9) – 27 \)
\( = 125x^3 – 225x^2 + 135x – 27 \)
7. Identidades de Cauchy

¿Sabías qué? Las identidades de Cauchy son en realidad las mismas fórmulas del Cubo de un Binomio, pero agrupadas de una forma muy estratégica. ¡Son el «atajo» perfecto para resolver problemas donde te dan como dato la suma y el producto de dos números!

Fórmulas Generales (¡Nota que la primera es toda de sumas y la segunda toda de restas!):
\( (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) \)
\( (a – b)^3 = a^3 – b^3 – 3ab(a – b) \)
Ejemplo Clásico (Tipo Examen):
Si: \( \color{#9c27b0}{a + b = 4} \) \( \land \) \( \color{#2986cc}{ab = 1} \). Calcular: \( M = a^3 + b^3 \)
Paso 1: ¡No intentes adivinar los números! Escribimos la Identidad de Cauchy para la suma:
\( (a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) \)
Paso 2: Reemplazamos nuestros datos. Donde veamos «\( (a+b) \)» ponemos 4 y donde veamos «\( ab \)» ponemos 1:
\( (\color{#9c27b0}{4})^3 = a^3 + b^3 + 3(\color{#2986cc}{1})(\color{#9c27b0}{4}) \)
Paso 3: Resolvemos la potencia y la multiplicación:
\( 64 = a^3 + b^3 + 12 \)
Finalmente, pasamos el 12 a restar al otro lado y ¡listo!
\( 52 = a^3 + b^3 \)
8. Suma y Diferencia de Cubos

¿Sabías qué? Esta identidad es como un truco de magia que comprime una multiplicación larga (un binomio por un trinomio) en un resultado muy pequeñito. ¡El secreto del éxito aquí es tener «ojo de águila»! Antes de aplicar la fórmula, siempre debes verificar que el trinomio cumpla con una estructura muy específica.

Fórmulas Generales (¡Nota cómo los signos se alternan!):
\((a + b)(a^2 – ab + b^2) = a^3 + b^3\)
\((a – b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 – b^3\)
Ejemplos de Aplicación: ¡Verificando la forma!
1) Efectúe: \((x + 3)(x^2 – 3x + 9)\)
• Paso 1: Identificamos quién es «\(a\)» y quién es «\(b\)» en el binomio.
Aquí vemos que \(a = x\) y \(b = 3\).
• Paso 2: Comprobamos si el trinomio tiene la forma correcta \((a^2 – ab + b^2)\):
– ¿El primer término es \(a^2\)? → \(x^2\) (¡Sí!)
– ¿El término central es \(-ab\)? → \(-(x)(3) = -3x\) (¡Sí!)
– ¿El tercer término es \(b^2\)? → \(3^2 = 9\) (¡Sí!)
• Paso 3: Aplicamos la Suma de Cubos:
\(= x^3 + 3^3 = x^3 + 27\)
2) Efectúe: \((2x – 5)(4x^2 + 10x + 25)\)
• Paso 1: Identificamos «\(a\)» y «\(b\)».
Aquí \(a = 2x\) y \(b = 5\).
• Paso 2: Comprobamos la estructura del trinomio \((a^2 + ab + b^2)\):
– ¿Es \((a)^2\)? → \((2x)^2 = 4x^2\) (¡Sí!)
– ¿Es \(+ab\)? → \(+(2x)(5) = +10x\) (¡Sí!)
– ¿Es \((b)^2\)? → \(5^2 = 25\) (¡Sí!)
• Paso 3: Aplicamos la Diferencia de Cubos:
\(= (2x)^3 – 5^3 = 8x^3 – 125\)

Ejercicio 1:

Desarrolla las siguientes expresiones aplicando la fórmula del Binomio al Cuadrado. ¡Toma lápiz y papel, e intenta resolverlos antes de ver la solución!
a. \( (x + 4)^2 = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)
b. \( (3x + 5y)^2 = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)
c. \( (6a + b)^2 = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)
d. \( (9 – a)^2 = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)
e. \( (3x + 2yz)^2 = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)
f. \( (5ab^2 + 2xy^3)^2 = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)

Aplicamos la fórmula: El cuadrado del primero, más (o menos) el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

a)

\( (\color{#cc0000}{x} + \color{#2986cc}{4})^2 = (\color{#cc0000}{x})^2 + 2(\color{#cc0000}{x})(\color{#2986cc}{4}) + (\color{#2986cc}{4})^2 \)

Resultado: \( x^2 + 8x + 16 \)

b)

\( (\color{#cc0000}{3x} + \color{#2986cc}{5y})^2 = (\color{#cc0000}{3x})^2 + 2(\color{#cc0000}{3x})(\color{#2986cc}{5y}) + (\color{#2986cc}{5y})^2 \)

Resultado: \( 9x^2 + 30xy + 25y^2 \)

c)

\( (\color{#cc0000}{6a} + \color{#2986cc}{b})^2 = (\color{#cc0000}{6a})^2 + 2(\color{#cc0000}{6a})(\color{#2986cc}{b}) + (\color{#2986cc}{b})^2 \)

Resultado: \( 36a^2 + 12ab + b^2 \)

d)

\( (\color{#cc0000}{9} – \color{#2986cc}{a})^2 = (\color{#cc0000}{9})^2 – 2(\color{#cc0000}{9})(\color{#2986cc}{a}) + (\color{#2986cc}{a})^2 \)

(Cuidado con el signo menos en el medio)
Resultado: \( 81 – 18a + a^2 \)

e)

\( (\color{#cc0000}{3x} + \color{#2986cc}{2yz})^2 = (\color{#cc0000}{3x})^2 + 2(\color{#cc0000}{3x})(\color{#2986cc}{2yz}) + (\color{#2986cc}{2yz})^2 \)

Resultado: \( 9x^2 + 12xyz + 4y^2z^2 \)

f)

\( (\color{#cc0000}{5ab^2} + \color{#2986cc}{2xy^3})^2 = (\color{#cc0000}{5ab^2})^2 + 2(\color{#cc0000}{5ab^2})(\color{#2986cc}{2xy^3}) + (\color{#2986cc}{2xy^3})^2 \)

(Recuerda multiplicar los exponentes: ej. \((b^2)^2 = b^4\))
Resultado: \( 25a^2b^4 + 20ab^2xy^3 + 4x^2y^6 \)

Ejercicio 2:

Si \( \color{#9c27b0}{x – y = 6} \) y \( \color{#2986cc}{xy = 10} \), halla el valor de: \( x^2 + y^2 \)

¡No intentes adivinar cuánto valen «x» e «y»! El secreto aquí es escribir la fórmula del Binomio al Cuadrado (Resta) y reemplazar nuestras piezas del rompecabezas.

Paso 1: Escribimos la fórmula general de la resta:
\( (x – y)^2 = x^2 – 2xy + y^2 \)
Paso 2: Reemplazamos los datos. Donde veamos «\( (x-y) \)» ponemos 6 y donde veamos «\( xy \)» ponemos 10:
\( (\color{#9c27b0}{6})^2 = x^2 – 2(\color{#2986cc}{10}) + y^2 \)
Paso 3: Resolvemos la potencia y la multiplicación:
\( 36 = x^2 – 20 + y^2 \)
Paso 4: ¡Ya casi! Para dejar a la suma de cuadrados sola, pasamos el \(-20\) al otro lado sumando:
\( 36 + 20 = x^2 + y^2 \)

\( 56 = x^2 + y^2 \)

Ejercicio 3:

Halla el resultado de las siguientes multiplicaciones aplicando el atajo de la Diferencia de Cuadrados. ¡Recuerda que solo debes elevar cada término al cuadrado y poner un signo menos en medio!
a. \( (x + 7)(x – 7) = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)
b. \( (x + 12)(x – 12) = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)
c. \( (3x + 8)(3x – 8) = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)
d. \( (y + 6)(y – 6) = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)
e. \( (4m + 3n)(4m – 3n) = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)

La fórmula nos dice: Cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.
\( (a+b)(a-b) = a^2 – b^2 \). ¡Vamos a comprobar tus respuestas!

a)

\( (\color{#cc0000}{x} + \color{#2986cc}{7})(\color{#cc0000}{x} – \color{#2986cc}{7}) = (\color{#cc0000}{x})^2 – (\color{#2986cc}{7})^2 \)

Resultado: \( x^2 – 49 \)

b)

\( (\color{#cc0000}{x} + \color{#2986cc}{12})(\color{#cc0000}{x} – \color{#2986cc}{12}) = (\color{#cc0000}{x})^2 – (\color{#2986cc}{12})^2 \)

Resultado: \( x^2 – 144 \)

c)

\( (\color{#cc0000}{3x} + \color{#2986cc}{8})(\color{#cc0000}{3x} – \color{#2986cc}{8}) = (\color{#cc0000}{3x})^2 – (\color{#2986cc}{8})^2 \)

(¡Cuidado! El cuadrado afecta tanto al 3 como a la «x»)
Resultado: \( 9x^2 – 64 \)

d)

\( (\color{#cc0000}{y} + \color{#2986cc}{6})(\color{#cc0000}{y} – \color{#2986cc}{6}) = (\color{#cc0000}{y})^2 – (\color{#2986cc}{6})^2 \)

Resultado: \( y^2 – 36 \)

e)

\( (\color{#cc0000}{4m} + \color{#2986cc}{3n})(\color{#cc0000}{4m} – \color{#2986cc}{3n}) = (\color{#cc0000}{4m})^2 – (\color{#2986cc}{3n})^2 \)

Resultado: \( 16m^2 – 9n^2 \)

Ejercicio 4:

Simplifica la siguiente expresión. ¡Aplica el atajo de la Diferencia de Cuadrados paso a paso y observa cómo todo se reduce!
\( \sqrt{(m-n)(m+n)(m^2+n^2)+n^4} \)

¡No te asustes por la raíz! La clave aquí es ir de izquierda a derecha operando de dos en dos usando la Diferencia de Cuadrados.

Paso 1: Nos enfocamos solo en los dos primeros paréntesis:
\( \sqrt{\color{#cc0000}{(m-n)(m+n)}(m^2+n^2)+n^4} \)
\( \sqrt{(\color{#cc0000}{m^2-n^2})(m^2+n^2)+n^4} \)
Paso 2: ¡Magia! Se acaba de formar otra diferencia de cuadrados al juntarse con el tercer paréntesis:
\( \sqrt{\color{#2986cc}{(m^2-n^2)(m^2+n^2)}+n^4} \)
\( \sqrt{(\color{#2986cc}{m^4-n^4})+n^4} \)
Paso 3: Quitamos el paréntesis. Nota que \(-n^4\) y \(+n^4\) son opuestos y se eliminan:
\( \sqrt{m^4 \color{#cc0000}{- n^4 + n^4}} \)
\( \sqrt{m^4 \color{#cc0000}{+ 0}} \)
\( \sqrt{m^4} \)
Paso 4: Finalmente, simplificamos la raíz dividiendo el exponente entre 2:
\( m^2 \)

\( \text{Resultado} = m^2 \)

Ejercicio 5:

Llegó el momento de la verdad. Identifica qué producto notable corresponde a cada ejercicio y desarróllalo sobre las líneas. ¡Concéntrate en los signos!
a. \( (x – 5)^2 = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)
b. \( (3x – 4)^2 = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)
c. \( (x + 8)(x – 8) = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)
d. \( (x – 3)(x + 9) = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)
e. \( (2x + 7)(2x – 5) = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)

¡No te asustes por la raíz! La clave aquí es ir de izquierda a derecha operando de dos en dos usando la Diferencia de Cuadrados.

Paso 1: Nos enfocamos solo en los dos primeros paréntesis:
\( \sqrt{\color{#cc0000}{(m-n)(m+n)}(m^2+n^2)+n^4} \)
\( \sqrt{(\color{#cc0000}{m^2-n^2})(m^2+n^2)+n^4} \)
Paso 2: ¡Magia! Se forma otra diferencia de cuadrados al juntarse con el tercer paréntesis:
\( \sqrt{\color{#2986cc}{(m^2-n^2)(m^2+n^2)}+n^4} \)
\( \sqrt{(\color{#2986cc}{m^4-n^4})+n^4} \)
Paso 3: Quitamos el paréntesis. Nota que \(-n^4\) y \(+n^4\) son opuestos y se eliminan:
\( \sqrt{m^4 \color{#cc0000}{- n^4 + n^4}} \)
\( \sqrt{m^4 \color{#cc0000}{+ 0}} \)
\( \sqrt{m^4} \)
Paso 4: Finalmente, simplificamos la raíz dividiendo el exponente entre 2:
\( m^2 \)

\( \text{Resultado} = m^2 \)

Ejercicio 6:

Para resolver este problema, desarrolla primero el Binomio al Cuadrado y luego reduce los términos semejantes de toda la expresión. ¡Verás cómo casi todo desaparece!
Reduzca la siguiente expresión:

\( M = (3x + 5)^2 – 30x – 9x^2 \)
\( M = \) ____________________________

¡Vamos paso a paso! El secreto está en no asustarse y resolver primero el paréntesis que está elevado al cuadrado.

Paso 1: Desarrollamos solo el Binomio al Cuadrado:
\( (\color{#cc0000}{3x} + \color{#2986cc}{5})^2 = (\color{#cc0000}{3x})^2 + 2(\color{#cc0000}{3x})(\color{#2986cc}{5}) + (\color{#2986cc}{5})^2 \)
\( = \color{#16a34a}{9x^2 + 30x + 25} \)
Paso 2: Reemplazamos este resultado verde en nuestra expresión original «M»:
\( M = [\color{#16a34a}{9x^2 + 30x + 25}] – 30x – 9x^2 \)
Paso 3: Eliminamos los corchetes y agrupamos los términos opuestos:
\( M = \color{#cc0000}{9x^2} + \color{#2986cc}{30x} + 25 \color{#2986cc}{- 30x} \color{#cc0000}{- 9x^2} \)
\( M = (\color{#cc0000}{9x^2 – 9x^2}) + (\color{#2986cc}{30x – 30x}) + 25 \)
\( M = \color{#cc0000}{0} + \color{#2986cc}{0} + 25 \)

\( \text{Resultado: } M = 25 \)

Ejercicio 7:

Desarrolla cada binomio al cubo. ¡Ten mucho cuidado con los signos en las restas y recuerda elevar correctamente los coeficientes y las fracciones!
a. \( (x + 2)^3 = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)
b. \( (y – 4)^3 = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)
c. \( \left(m + \frac{1}{2}\right)^3 = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)
d. \( (a + 5)^3 = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)
e. \( (2k – 5)^3 = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)

Recuerda la fórmula: El cubo del primero, más/menos el triple del primero al cuadrado por el segundo, más el triple del primero por el segundo al cuadrado, más/menos el cubo del segundo.

a)

\( (\color{#cc0000}{x} + \color{#2986cc}{2})^3 = (\color{#cc0000}{x})^3 + 3(\color{#cc0000}{x})^2(\color{#2986cc}{2}) + 3(\color{#cc0000}{x})(\color{#2986cc}{2})^2 + (\color{#2986cc}{2})^3 \)

Resultado: \( x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \)

b)

\( (\color{#cc0000}{y} – \color{#2986cc}{4})^3 = (\color{#cc0000}{y})^3 – 3(\color{#cc0000}{y})^2(\color{#2986cc}{4}) + 3(\color{#cc0000}{y})(\color{#2986cc}{4})^2 – (\color{#2986cc}{4})^3 \)

(¡Atención a los signos intercalados en la resta!)
Resultado: \( y^3 – 12y^2 + 48y – 64 \)

c)

\( \left(\color{#cc0000}{m} + \color{#2986cc}{\frac{1}{2}}\right)^3 = (\color{#cc0000}{m})^3 + 3(\color{#cc0000}{m})^2\left(\color{#2986cc}{\frac{1}{2}}\right) + 3(\color{#cc0000}{m})\left(\color{#2986cc}{\frac{1}{2}}\right)^2 + \left(\color{#2986cc}{\frac{1}{2}}\right)^3 \)

Resultado: \( m^3 + \frac{3}{2}m^2 + \frac{3}{4}m + \frac{1}{8} \)

d)

\( (\color{#cc0000}{a} + \color{#2986cc}{5})^3 = (\color{#cc0000}{a})^3 + 3(\color{#cc0000}{a})^2(\color{#2986cc}{5}) + 3(\color{#cc0000}{a})(\color{#2986cc}{5})^2 + (\color{#2986cc}{5})^3 \)

Resultado: \( a^3 + 15a^2 + 75a + 125 \)

e)

\( (\color{#cc0000}{2k} – \color{#2986cc}{5})^3 = (\color{#cc0000}{2k})^3 – 3(\color{#cc0000}{2k})^2(\color{#2986cc}{5}) + 3(\color{#cc0000}{2k})(\color{#2986cc}{5})^2 – (\color{#2986cc}{5})^3 \)

(Cuidado: \( (2k)^2 = 4k^2 \) y al multiplicarlo por 3 y por 5 da \(60k^2\))
Resultado: \( 8k^3 – 60k^2 + 150k – 125 \)

Ejercicio 8:

Si \( \color{#9c27b0}{m – n = 5} \) y \( \color{#2986cc}{mn = 3} \), halla el valor de: \( m^3 – n^3 \)
\( m^3 – n^3 = \) ______________________________

¡Es el turno de la Identidad de Cauchy para la resta! Recuerda que es como armar un rompecabezas: solo debemos escribir la fórmula y colocar nuestras piezas en su lugar.

Paso 1: Escribimos la Identidad de Cauchy para la resta:
\( (m – n)^3 = m^3 – n^3 – 3mn(m – n) \)
Paso 2: Reemplazamos los datos. Donde veamos «\( (m-n) \)» ponemos 5 y donde veamos «\( mn \)» ponemos 3:
\( (\color{#9c27b0}{5})^3 = m^3 – n^3 – 3(\color{#2986cc}{3})(\color{#9c27b0}{5}) \)
Paso 3: Resolvemos la potencia y la multiplicación triple:
\( 125 = m^3 – n^3 – 45 \)
Paso 4: ¡Último esfuerzo! Para dejar la resta de cubos sola, pasamos el \(-45\) al otro lado sumando:
\( 125 + 45 = m^3 – n^3 \)

\( 170 = m^3 – n^3 \)

Ejercicio 9:

¡Llegó el momento de demostrar todo lo aprendido! Simplifica la siguiente expresión combinada. Identifica qué producto notable usar en cada bloque, desarróllalos y luego reduce los términos semejantes.
\( T = (3x + 2)^2 + (x + 4)^2 – 10(x + 1)(x – 1) – 20x \)
\( T = \) ____________________________________

¡No entres en pánico! Si vemos una expresión larga, el truco es dividirla en partes pequeñas y resolver un «bloque» a la vez.

Paso 1: Desarrollamos los dos Binomios al Cuadrado:
Bloque 1: \( (3x + 2)^2 = (3x)^2 + 2(3x)(2) + (2)^2 = \color{#cc0000}{9x^2 + 12x + 4} \)

Bloque 2: \( (x + 4)^2 = (x)^2 + 2(x)(4) + (4)^2 = \color{#0284c7}{x^2 + 8x + 16} \)

Paso 2: Resolvemos la Diferencia de Cuadrados (multiplicada por -10):
Bloque 3: \( -10(x + 1)(x – 1) = -10(x^2 – 1^2) = -10(x^2 – 1) = \color{#16a34a}{-10x^2 + 10} \)

Paso 3: Juntamos todos los resultados en «T»:
\( T = (\color{#cc0000}{9x^2 + 12x + 4}) + (\color{#0284c7}{x^2 + 8x + 16}) \color{#16a34a}{- 10x^2 + 10} – 20x \)

Paso 4: Sumamos y restamos los términos semejantes:
Sumamos las \(x^2\): \( (\color{#cc0000}{9x^2} + \color{#0284c7}{x^2} \color{#16a34a}{- 10x^2}) = 10x^2 – 10x^2 = \mathbf{0} \)
Sumamos las \(x\): \( (\color{#cc0000}{12x} + \color{#0284c7}{8x} – 20x) = 20x – 20x = \mathbf{0} \)
Sumamos los números: \( (\color{#cc0000}{4} + \color{#0284c7}{16} + \color{#16a34a}{10}) = \mathbf{30} \)
¡Toda la parte con letras desapareció mágicamente!

\( \text{Resultado: } T = 30 \)

Ejercicio 10:

Llegamos al último reto de esta guía. A simple vista, parece una multiplicación interminable, pero si observas bien la primera parte de la expresión, notarás a un «viejo conocido» escondido. ¡Identifica el producto notable, aplícalo y reduce la expresión al máximo!
\(M = (a + 10)(a^2 – 10a + 100) – a^3\)

\(M = (a + 10)(a^2 – 10a + 100) – a^3\)
↓
• Paso 1: Si analizamos la primera parte de la expresión, vemos que tiene exactamente la forma de una Suma de Cubos:
\( (a + b)(a^2 – ab + b^2) = a^3 + b^3 \)
Aplicando la identidad:
\((a + 10)(a^2 – 10a + 100) = a^3 + 10^3\)

↓
• Paso 2: Reemplazamos este resultado en nuestra expresión original y reducimos los términos semejantes:
\(M = \color{#cc0000}{a^3} + 10^3 \color{#cc0000}{- a^3}\)
(Las variables «\(a^3\)» se cancelan por tener signos opuestos)
\(M = 10^3\)

↓
\(M = 1000\)

¡Muchísimas felicidades! Acabas de terminar una de las lecciones más importantes de toda el álgebra. Dominar los Productos Notables te ahorrará horas de cálculos y te evitará muchísimos dolores de cabeza en tus futuros exámenes.

Al principio son muchas fórmulas que recordar, pero te prometo que con la práctica, tu cerebro empezará a reconocer las Diferencias de Cuadrados y los Binomios al instante, ¡casi como un superpoder! Te invito a repasar estos ejercicios en tu cuaderno hasta que te salgan de forma natural.

🚀 Próxima parada: La Factorización
Ya aprendiste a multiplicar polinomios rápidamente usando fórmulas. Pero, ¿qué pasaría si te damos el resultado final y te pedimos que descubras qué polinomios se multiplicaron originalmente? A este proceso de «desarmar» la expresión matemática y volver al inicio lo llamamos Factorización. ¡Prepárate para pensar a la inversa en nuestra próxima lección!

Deja un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *

Scroll al inicio