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Multiplicación Algebraica

Por Joao / 9 de enero de 2026

🎯 Objetivos de esta lección:

  • Dominar la propiedad distributiva: Emplear correctamente esta regla fundamental al realizar multiplicaciones entre expresiones polinómicas.
  • Reconocer los productos notables: Identificar estas multiplicaciones especiales, ya que son la herramienta clave para simplificar expresiones algebraicas y facilitar la futura factorización.
  • Agilizar la resolución de problemas: Desarrollar destreza, seguridad y rapidez operativa al resolver ejercicios aplicando de forma directa las fórmulas matemáticas.

📘 Introducción: La Multiplicación Algebraica

La multiplicación algebraica es una operación que consiste en obtener una nueva expresión (llamada producto) a partir de multiplicar otras expresiones dadas (los factores).

Para realizar estas operaciones con éxito, nos apoyaremos en dos pilares fundamentales: la Ley de Signos y las Leyes de Exponentes (recordando especialmente que al multiplicar bases iguales, los exponentes se suman: \( x^a \cdot x^b = x^{a+b} \)).

En esta sección avanzaremos paso a paso estudiando los tres casos fundamentales:
1. Multiplicación de Monomio por Monomio.
2. Multiplicación de Monomio por Polinomio.
3. Multiplicación de Polinomio por Polinomio.

¡Construir una base sólida aquí hará que los temas matemáticos futuros sean mucho más fáciles!

CONCEPTOS PREVIOS:

Leyes de la multiplicación

Para dos expresiones a; b cualesquiera se cumplen las leyes siguientes:

🔑 La Ley Conmutativa

Antes de empezar a multiplicar monomios y polinomios, debemos recordar una regla de oro fundamental en cualquier multiplicación: «El orden de los factores no altera el producto».

\( a \cdot b = b \cdot a \)

Ejemplos prácticos:

  • En aritmética: \( 5 \cdot 3 = 15 = 3 \cdot 5 \)
  • En álgebra: \( (x^2 – 1)(x^3 + 2) = (x^3 + 2)(x^2 – 1) \)

🔑 La Ley Asociativa

Esta ley nos dice que en la multiplicación no interesa el orden en que decidamos asociar o agrupar los factores; el resultado final siempre será el mismo.

\(\displaystyle (ab)c = a(bc) \)

Ejemplos prácticos:

  • En aritmética:
    \(\displaystyle 5(2 \cdot 3) = 5 \cdot 6 = 30 \)
    da el mismo resultado que:
    \(\displaystyle (5 \cdot 2)3 = 10 \cdot 3 = 30 \)
  • En álgebra:
    \(\displaystyle (3x – 1)[(x + 1)y] = [(3x – 1)(x + 1)]y \)

🔑 La Ley Distributiva

Esta es la regla estrella del álgebra. Nos indica que si un factor multiplica a una suma o resta dentro de un paréntesis, este factor exterior «se distribuye» multiplicando a cada uno de los términos interiores.

\( \color{#cc0000}{a}(\color{#2986cc}{b} + \color{#27ae60}{c}) = \color{#cc0000}{a}\color{#2986cc}{b} + \color{#cc0000}{a}\color{#27ae60}{c} \)

Observa cómo se aplica en estos ejemplos prácticos:

  • Distribuyendo variables distintas: \( \color{#cc0000}{x^5}(\color{#2986cc}{y} + \color{#27ae60}{z^2}) = \color{#cc0000}{x^5}\color{#2986cc}{y} + \color{#cc0000}{x^5}\color{#27ae60}{z^2} \)
  • Distribuyendo y sumando exponentes: \( \color{#cc0000}{a^4}(\color{#2986cc}{a^2} + \color{#27ae60}{b^3}) = \color{#cc0000}{a^6} + \color{#cc0000}{a^4}\color{#27ae60}{b^3} \)

🔑 Leyes de los Exponentes

Para realizar la multiplicación de expresiones de un solo término (monomios), nuestra herramienta principal será aplicar las leyes de los exponentes.

Producto de bases iguales:
\( x^m \cdot x^n = x^{m+n} \)
Cociente de bases iguales:
\( \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \)

💡 Regla de oro: ¡Al multiplicar letras iguales, simplemente suma sus exponentes pequeños!

Multiplicación de Monomio por Monomio:

Regla: El coeficiente se obtiene multiplicando los números (aplicando la Ley de Signos), y la parte literal se obtiene sumando los exponentes de las bases (letras) que sean iguales.

Multiplicar:
\( (-7x^2y^3)(5x^7) \)

Separamos coeficientes y variables iguales para no confundirnos:

\( = [\color{#cc0000}{(-7)(5)}] \cdot [\color{#2986cc}{(x^2)(x^7)}] \cdot [\color{#27ae60}{y^3}] \)
Multiplicamos los números y sumamos los exponentes de las «x»:
\( = [\color{#cc0000}{-35}] \cdot [\color{#2986cc}{x^{2+7}}] \cdot [\color{#27ae60}{y^3}] \)
\( = \color{#cc0000}{-35} \color{#2986cc}{x^9} \color{#27ae60}{y^3} \)
\( \text{Resultado} = -35x^9y^3 \)

Multiplicación de Monomio por Polinomio:

Regla: Aplicaremos la Propiedad Distributiva. El monomio que está afuera multiplica a cada uno de los términos del polinomio que está adentro, aplicando en cada paso la regla de monomio por monomio. ¡No olvides la Ley de Signos!

Multiplicar:
\( -4a^2b(3a^4 – 5ab^3) \)

Distribuimos el factor exterior (rojo) hacia los términos interiores:

\( = [\color{#cc0000}{-4a^2b} \cdot (\color{#2986cc}{3a^4})] + [\color{#cc0000}{-4a^2b} \cdot (\color{#27ae60}{-5ab^3})] \)
Ahora resolvemos cada corchete como si fueran dos ejercicios separados:
\( = [\color{#2986cc}{-12a^{2+4}b}] + [\color{#27ae60}{+20a^{2+1}b^{1+3}}] \)
\( = -12a^6b + 20a^3b^4 \)
ya no pueden sumarse debido a que no son términos semejantes
\( \text{Resultado} = -12a^6b + 20a^3b^4 \)

Multiplicación de Polinomio por Polinomio

Regla: Multiplicaremos cada término del primer polinomio por todos los términos del segundo polinomio. ¡Es como hacer la propiedad distributiva dos veces! Al terminar de multiplicar, es obligatorio reducir los términos semejantes.

Efectuar:
\( (3x – 4)(2x + 5) \)

Separamos los términos del primer factor con colores para ver cómo se distribuyen en el segundo:

\( = \color{#cc0000}{3x}(2x + 5) \color{#2986cc}{- 4}(2x + 5) \)
Multiplicamos (Monomio por Polinomio) en cada lado respetando los signos:
\( = [\color{#cc0000}{6x^2 + 15x}] + [\color{#2986cc}{-8x – 20}] \)
\( = 6x^2 + 15x – 8x – 20 \)
¡Atención! Identificamos y reducimos los términos semejantes (las «x»):
\( = 6x^2 + (15 – 8)x – 20 \)
\( = 6x^2 + 7x – 20 \)
\( \text{Resultado} = 6x^2 + 7x – 20 \)

Ejercicio 1:

Sean los siguientes monomios:
\( A = -3x^4y^2 \)
\( B = 5x^3y^5 \)
Halle el producto: «A · B«

Para multiplicar monomios, agrupamos los coeficientes (números) por un lado, y las bases iguales (letras) por el otro. ¡No olvides sumar los exponentes!

\( A \cdot B = (-3x^4y^2)(5x^3y^5) \)
Agrupamos usando colores para no perdernos:
\( = [\color{#cc0000}{(-3)(5)}] \cdot [\color{#2986cc}{(x^4)(x^3)}] \cdot [\color{#27ae60}{(y^2)(y^5)}] \)
\( = [\color{#cc0000}{-15}] \cdot [\color{#2986cc}{x^{4+3}}] \cdot [\color{#27ae60}{y^{2+5}}] \)
\( = \color{#cc0000}{-15} \color{#2986cc}{x^7} \color{#27ae60}{y^7} \)

\( A \cdot B = -15x^7y^7 \)

Ejercicio 2:

Efectuar la siguiente multiplicación:
\( (4x^4y^2)(-5x^5y^3)(-2x^3y) \)

Aplicamos la regla: multiplicamos los coeficientes (números) respetando la Ley de Signos, y sumamos los exponentes de las bases que son iguales.

\( (4x^4y^2)(-5x^5y^3)(-2x^3y) \)
Agrupamos coeficientes y sumamos los exponentes de «x» e «y»:
(Recuerda que la última «y» tiene un exponente «1» invisible)

\( = \color{#cc0000}{(4)(-5)(-2)} \cdot \color{#2986cc}{x^{4+5+3}} \cdot \color{#27ae60}{y^{2+3+1}} \)
Calculamos: \((4)(-5) = -20\), y luego \((-20)(-2) = +40\)
\( = \color{#cc0000}{40} \color{#2986cc}{x^{12}} \color{#27ae60}{y^6} \)

\( \text{Resultado} = 40x^{12}y^6 \)

Ejercicio 3:

Efectuar la siguiente operación combinada:
\( (6x^3y)(-3xy) + 28x^4y^2 \)

¡Este ejercicio es un 2×1! Primero resolvemos la multiplicación de monomios sumando los exponentes de las bases iguales y, al final, reducimos los términos semejantes.

\( (6x^3y)(-3xy) + 28x^4y^2 \)
Paso 1: Multiplicamos los coeficientes y sumamos los exponentes del primer bloque:
(Recuerda que la «x» y la «y» sin exponente visible llevan un «1» invisible)

\( = [\color{#cc0000}{(6)(-3)} \cdot \color{#2986cc}{x^{3+1}} \cdot \color{#27ae60}{y^{1+1}}] + 28x^4y^2 \)
\( = -18x^4y^2 + 28x^4y^2 \)
Paso 2: Como ahora ambos tienen la misma parte literal \((x^4y^2)\), los sumamos como términos semejantes:
\( = (-18 + 28)x^4y^2 \)
\( = 10x^4y^2 \)

\( \text{Resultado} = 10x^4y^2 \)

Ejercicio 4:

Efectuar la siguiente operación:
\( (5x)(3x – 2x^3) + 10x^4 \)

Para resolver este ejercicio, primero aplicamos la propiedad distributiva \((a(b+c) = ab + ac)\) en la primera parte.

\( \color{#cc0000}{5x}(3x – 2x^3) + 10x^4 \)
Paso 1: El factor rojo se distribuye multiplicando a cada término dentro del paréntesis:
\( = [\color{#cc0000}{(5x)}(3x) – \color{#cc0000}{(5x)}(2x^3)] + 10x^4 \)
\( = [15x^2 – 10x^4] + 10x^4 \)
Paso 2: Como no hay un signo negativo delante del corchete, podemos eliminarlo con total seguridad sin cambiar los signos de adentro:
\( = 15x^2 – 10x^4 + 10x^4 \)
Paso 3: ¡Observa con atención! Los términos con \(x^4\) son opuestos (\(-10\) y \(+10\)), por lo que se restan y dan cero (se anulan):
\( = 15x^2 \color{#cc0000}{- 10x^4 + 10x^4} \)
\( = 15x^2 \color{#cc0000}{+ 0} \)
\( = 15x^2 \)

\( \text{Resultado} = 15x^2 \)

Ejercicio 5:

Efectuar la siguiente multiplicación de polinomios:
\( (3x^2 – 2)(4x^3 – 2x^2 + 5x) \)

¡Llegamos al nivel maestro! Aquí multiplicaremos un binomio (2 términos) por un trinomio (3 términos). Aplicaremos la doble propiedad distributiva.

\( (\color{#cc0000}{3x^2} \color{#2986cc}{- 2})(4x^3 – 2x^2 + 5x) \)
Paso 1: Distribuimos el primer término (rojo) y luego el segundo término (azul) hacia todo el trinomio:
\( = \color{#cc0000}{3x^2}(4x^3 – 2x^2 + 5x) \color{#2986cc}{- 2}(4x^3 – 2x^2 + 5x) \)
Paso 2: Desarrollamos las multiplicaciones sumando los exponentes:
\( = \color{#cc0000}{12x^5 – 6x^4 + 15x^3} \color{#2986cc}{- 8x^3 + 4x^2 – 10x} \)
Paso 3: Identificamos y reducimos los términos semejantes (en este caso, los que tienen \(x^3\)):
\( = 12x^5 – 6x^4 + (\color{#27ae60}{15x^3 – 8x^3}) + 4x^2 – 10x \)
\( = 12x^5 – 6x^4 + \color{#27ae60}{7x^3} + 4x^2 – 10x \)

\( \text{Resultado} = 12x^5 – 6x^4 + 7x^3 + 4x^2 – 10x \)

Ejercicio 6:

Efectuar la siguiente multiplicación con fracciones:
\( \left( \frac{4}{3}x^3 – \frac{1}{2}x^2 + x – 3 \right) \left( \frac{3}{2}x^2 – 2x \right) \)

¡No le temas a las fracciones! Para que el ejercicio sea más sencillo, primero aplicaremos la Ley Conmutativa (el orden de los factores no altera el producto) para colocar el binomio al inicio. Así distribuiremos mucho más rápido.

Invertimos el orden de los paréntesis:
\( = (\color{#cc0000}{\frac{3}{2}x^2} \color{#2986cc}{- 2x}) \left( \frac{4}{3}x^3 – \frac{1}{2}x^2 + x – 3 \right) \)
Paso 2: Distribuimos el término rojo y luego el término azul:
\( = \color{#cc0000}{\frac{3}{2}x^2} \left( \frac{4}{3}x^3 – \frac{1}{2}x^2 + x – 3 \right) \color{#2986cc}{- 2x} \left( \frac{4}{3}x^3 – \frac{1}{2}x^2 + x – 3 \right) \)
Paso 3: Multiplicamos las fracciones (numerador con numerador, denominador con denominador) dejando la operación indicada:
\( = \color{#cc0000}{\left(\frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 3}\right)x^5 – \left(\frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 2}\right)x^4 + \left(\frac{3 \cdot 1}{2}\right)x^3 – \left(\frac{3 \cdot 3}{2}\right)x^2} \color{#2986cc}{- \left(\frac{2 \cdot 4}{3}\right)x^4 + \left(\frac{2 \cdot 1}{2}\right)x^3 – 2x^2 + 6x} \)
Paso 4: Resolvemos esas pequeñas multiplicaciones para obtener nuestros coeficientes:
\( = \color{#cc0000}{2x^5 – \frac{3}{4}x^4 + \frac{3}{2}x^3 – \frac{9}{2}x^2} \color{#2986cc}{- \frac{8}{3}x^4 + x^3 – 2x^2 + 6x} \)
Paso 5: Agrupamos y reducimos los términos semejantes (\(x^4\), \(x^3\) y \(x^2\)):
\( = 2x^5 + \left( \color{#cc0000}{-\frac{3}{4}} \color{#2986cc}{- \frac{8}{3}} \right)x^4 + \left( \color{#cc0000}{\frac{3}{2}} \color{#2986cc}{+ 1} \right)x^3 + \left( \color{#cc0000}{-\frac{9}{2}} \color{#2986cc}{- 2} \right)x^2 + 6x \)

💡 Nota: Para los \(x^4\) hicimos \( \frac{-9 – 32}{12} = -\frac{41}{12} \)
\( = 2x^5 – \frac{41}{12}x^4 + \frac{5}{2}x^3 – \frac{13}{2}x^2 + 6x \)

\( \text{Resultado} = 2x^5 – \frac{41}{12}x^4 + \frac{5}{2}x^3 – \frac{13}{2}x^2 + 6x \)

Ejercicio 7:

Calcula la expresión que representa al área de un rectángulo cuyo largo y ancho están expresados por los polinomios \( (5m + 6n – 1) \) y \( (3 + 2n) \).

¡Geometría y álgebra juntas! Recuerda que el área de un rectángulo se calcula multiplicando su largo por su ancho \( (Área = largo \cdot ancho) \). Por lo tanto, solo debemos multiplicar ambos polinomios.

Planteamos la multiplicación usando la Ley Conmutativa (ponemos el binomio primero para que sea más fácil distribuir):
\( Área = (\color{#cc0000}{3} \color{#2986cc}{+ 2n})(5m + 6n – 1) \)
Paso 1: Distribuimos el término rojo y luego el término azul por todo el trinomio:
\( = \color{#cc0000}{3}(5m + 6n – 1) \color{#2986cc}{+ 2n}(5m + 6n – 1) \)
\( = \color{#cc0000}{15m + 18n – 3} \color{#2986cc}{+ 10mn + 12n^2 – 2n} \)
Paso 2: Identificamos y reducimos los únicos términos semejantes (los que tienen la letra «n»):
\( = 15m – 3 + 10mn + 12n^2 + (\color{#27ae60}{18n – 2n}) \)
\( = 15m – 3 + 10mn + 12n^2 + \color{#27ae60}{16n} \)
Paso 3: Ordenamos el polinomio resultante para que se vea más elegante (de mayor a menor grado):
\( = 12n^2 + 10mn + 15m + 16n – 3 \)

\( \text{Área} = 12n^2 + 10mn + 15m + 16n – 3 \)

🏆 ¡Misión Cumplida! ¿Qué sigue ahora?

¡Felicidades! Has dado un paso gigante en tu aprendizaje del álgebra. Multiplicar polinomios requiere de mucha concentración, orden y, sobre todo, dominar la Ley de Signos y las Leyes de Exponentes. Si lograste llegar hasta aquí y entendiste el paso a paso de los ejercicios, ¡ya tienes la base matemática necesaria para enfrentar cualquier reto!

Recuerda que en las matemáticas, la práctica hace al maestro. Te recomiendo volver a intentar estos ejercicios por tu cuenta en un cuaderno; si te atoras en el camino, ¡siempre puedes abrir el acordeón azul para ver la solución paso a paso!

🚀 Próxima parada: Los Productos Notables
Ahora que ya sabes multiplicar término a término usando la propiedad distributiva, en nuestra próxima clase te enseñaré los «atajos matemáticos» definitivos. Aprenderemos fórmulas especiales para resolver las multiplicaciones clásicas en un abrir y cerrar de ojos, ¡directo a la respuesta final!

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