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Polinomios

Por Joao / 9 de enero de 2026

🎯 Objetivos de esta lección:
  • Conocer el vocabulario: Entender qué es una variable, una constante y cómo se forma un término algebraico.
  • Definir un polinomio: Identificar visualmente qué expresiones matemáticas son polinomios y cuáles no.
  • Calcular Grados: Aprender a hallar el Grado Relativo (G.R.) y el Grado Absoluto (G.A.) de cualquier expresión.
  • Hallar el Valor Numérico: Descubrir cómo reemplazar las «letras» por números para encontrar el valor exacto de un polinomio.
📘 Introducción: El lenguaje del mundo real

Antes de empezar a sumar, restar o multiplicar letras, debemos responder una pregunta clave: ¿Para qué nos sirven los polinomios?

Aunque a simple vista parezcan abstractos, los polinomios son de muchísimo valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria. Son la herramienta matemática principal que usan los profesionales en finanzas, economía, estadística, ingeniería, medicina, química, física y hasta astronomía para predecir comportamientos y crear modelos exactos de nuestro mundo.

Tu primer paso: Para poder «hablar» este idioma algebraico y construir estos modelos, primero necesitamos conocer los conceptos previos. ¡Vamos a descubrir las piezas del rompecabezas!


Conceptos previos

1. Variable

Es un símbolo que toma diferentes valores y está representada por las letras del alfabeto.

$$a, b, c, \dots, x, y, z$$

Nota: Las variables pueden estar sujetas a condiciones.

Ejemplos:

• \( x \in \mathbb{R} \)
• \( a > 4 \)
• \( y > 4 \)
• \( m \lt 0 \)

2. Constante

Es un símbolo que toma un valor fijo, como por ejemplo los números reales.

$$ 9, -5, 0, \frac{1}{3}, \sqrt{2}, \dots $$

3. Expresión matemática

Es una combinación de letras y números enlazadas por diferentes operaciones matemáticas.

Ejemplos:

• \( 3x + 1 \)
• \( \sqrt[4]{y} – 5 \)
• \( \pi \cdot r^2 \)
• \( x^2 + y^2 \)

Nota: Para diferenciar variables de constantes usaremos la notación matemática.

4. Notación matemática

Es la representación simbólica de una expresión matemática, que nos permite diferenciar las variables de las constantes.

Ejemplos:

• \(\displaystyle P(x) = 3x^4 – 5x^2 + 7 \)
Variable: \( x \)
Constantes: \( 4, -5, 2, 3, 7 \)
• \(\displaystyle P(x; y) = ax^2 + bx^2 \)
Variables: \( x, y \)
Constantes: \( a, 2, b \)
• \(\displaystyle F(x + 7) = 3x^2 + \frac{1}{4} \)
Variable: \( x + 7 \)
Constantes: \( 3, 2, \frac{1}{4} \)

5. Término Algebraico

Un término algebraico es una combinación de constantes y variables vinculadas entre sí por las operaciones de multiplicación y división.

Las variables están determinadas en la definición del término algebraico. Están elevadas a un exponente. En cambio, los coeficientes son todos aquellos términos que multiplican a las variables.

Ejemplo de sus partes:

\( T(x) = 3x^2 \)
Coeficiente: \( 3 \)
Variable: \( x \)
Exponente (Grado): \( 2 \)

Nota: Recuerda que la notación inicial es la que nos indica quién o quiénes son las variables. Si aparece alguna otra letra en el término algebraico y no está dentro de la notación, esta NO será una variable y pasará a formar parte del coeficiente.

Término Variables Exponentes Coeficientes
\( A(x) = -5x^4 \) \( x \) \( 4 \) \( -5 \)
\( B(y) = \sqrt{3}y^{\frac{2}{5}} \) \( y \) \( \frac{2}{5} \) \( \sqrt{3} \)
\( C(x; y) = 2ax^2y^{-\frac{3}{2}} \) \( x; y \) \( 2; -\frac{3}{2} \) \( 2a \)
\( T(x; y) = -3x^2y^{-1}z^2 \) \( x; y \) \( 2; -1 \) \( -3z^2 \)

Nota: Observa el tercer término: la letra \( a \) no es variable ya que no está dentro de la notación inicial; en la notación se observa que solo \( x \) e \( y \) son variables. Lo mismo sucede en el último término: \( z \) no es variable según la notación, con lo cual pasa a ser parte del coeficiente.

6. Términos semejantes

Dos o más términos algebraicos son semejantes cuando tienen las mismas variables y cada una de ellas tiene los mismos exponentes.

\( \displaystyle T(x; y) = -2x^3y^4 \)
\( \displaystyle Q(x; y) = 5x^3y^4 \)
✓ Sí son términos semejantes.
\( \displaystyle R(x; y) = 3xy^2 \)
\( \displaystyle S(x; y) = 3x^2y \)
✗ NO son términos semejantes.

Nota: Los términos algebraicos semejantes pueden sumarse o restarse y reducirse a un único término.

\( \displaystyle T(x; y) + Q(x; y) = -2x^3y^4 + 5x^3y^4 = \) \( 3x^3y^4 \)
\( \displaystyle T(x; y) – Q(x; y) = -2x^3y^4 – 5x^3y^4 = \) \( -7x^3y^4 \)

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

  1. Se agrupan los términos semejantes.
  2. Se suman o se restan los coeficientes (parte numérica).
  3. Luego se escribe la parte literal anteponiendo el signo resultante.

Ejemplos:

\( 8x^4 + 7x^4 = 15x^4 \)
\( -4ab – 2ab = -6ab \)
\( 11x^4y – 5x^4y = 6x^4y \)

Ejemplo 1:

$$ \text{Sea: } A = 6xy + 2xy – 7xy $$ $$ B = 4xy – 2xy + xy $$ $$ \text{Halle } A – B $$

Paso 1: Reducir la expresión A

Agrupamos y sumamos los dos primeros términos semejantes, y luego restamos el tercero:

$$ A = \underbrace{6xy + 2xy}_{8xy} – 7xy $$
$$ A = 8xy – 7xy = xy $$

Paso 2: Reducir la expresión B

Aplicamos el mismo procedimiento operando de izquierda a derecha:

$$ B = \underbrace{4xy – 2xy}_{2xy} + xy $$
$$ B = 2xy + xy = 3xy $$

Paso 3: Calcular lo que nos piden (A – B)

Reemplazamos los valores finales que obtuvimos para A y B, y procedemos a restar:

$$ \text{Nos piden: } A – B = xy – 3xy = \color{red}{-2xy} $$

Ejemplo 2:

$$ \text{Reduzca: } 10mn – 4mn + (2mn – mn) $$

Resolución:

Observamos que todos los terminos tienen las mismas variables «mn» por lo tanto son terminos semejantes. Podemos resolverlo por partes (los primeros términos y lo que está dentro del paréntesis) se tiene:

$$ \underbrace{10mn – 4mn}_{6mn} + \underbrace{(2mn – mn)}_{mn} $$

Finalmente, sumamos los resultados obtenidos:

$$ 6mn + mn = \color{red}{7mn} $$

8. Expresiones Algebraicas

Una expresión algebraica es una combinación de dos o más términos algebraicos unidos mediante sumas o restas.

Ejemplo:

$$ E(x;y) = \overbrace{3x^2y^{-1}}^{\text{1er término}} – \overbrace{\frac{5}{2}x\sqrt{3}y}^{\text{2do término}} + \underbrace{\overbrace{2}^{\text{3er término}}}_{\text{Término Indep. (grado = 0)}} $$

POLINOMIO

Es una expresión matemática que enlaza variables o constantes mediante una combinación finita de operaciones matemáticas (entre ellas se permiten la adición, sustracción, multiplicación y potenciación), en donde los exponentes de las variables son enteros no negativos.

Ejemplos:

Expresión algebraica Exponentes ¿Es un polinomio?
\( A(x) = 3x^2 – 2x^3 + 2 \) \( \{2; 3; 0\} \) Sí es polinomio.
\( B(x;y) = \sqrt{2}xy^2 + \frac{\pi}{2}x^3y – 3 \) \( \{1; 2; 3; 1; 0\} \) Sí es polinomio.
\( P(x;y) = x^{\sqrt{3}}y^2 + x^3 – 3x^{\frac{2}{3}}y^{-1} \) \( \{\color{red}{\sqrt{3}}; 2; 3; \color{red}{\frac{2}{3}}; \color{red}{-1}\} \) No es polinomio.

Los polinomios reciben una denominación especial de acuerdo a su cantidad de términos:

Monomio

«Mono» significa uno y «Nomio» significa término, así monomio es el polinomio formado por un solo término.

$$ P(x;y;z) = \color{#38761d}{\underbrace{\color{#333}{3x^2y^4z}}_{\text{Un término}}} \text{ (Monomio)} $$

Binomio

«Bi» significa dos y «Nomio» significa término, así binomio es el polinomio formado por 2 términos.

$$ Q(x) = \color{#38761d}{\underbrace{\color{#333}{3x^6 + 5x}}_{\text{Dos términos}}} \text{ (Binomio)} $$

Trinomio

«Tri» significa tres y «Nomio» significa término, así trinomio es el polinomio formado por 3 términos.

$$ N(x;y) = \color{#38761d}{\underbrace{\color{#333}{3xy + 2y – y^5}}_{\text{Tres términos}}} \text{ (Trinomio)} $$

Nota: Los polinomios formados por más de tres términos no reciben ningún nombre en especial, simplemente son polinomios con la cantidad de términos que contienen.

Ejemplo: \( 5x^2 + 6y + a + 15 \); se le llama polinomio de cuatro términos.

Valor Numérico

Se obtiene al sustituir las variables de un polinomio por números asignados.

Ejemplos:

• Dado: \( P(x) = x^2 + 4 \)
Si \( x \) toma el valor de \( \color{red}{3} \), entonces:
\( P(\color{red}{3}) = \color{red}{3}^2 + 4 = 13 \)
• Dado: \( Q(y) = 2y^2 + 7y + 9 \)
Si \( y \) toma el valor de \( \color{#2986cc}{2} \), entonces:
\( Q(\color{#2986cc}{2}) = 2 \cdot \color{#2986cc}{2}^2 + 7 \cdot \color{#2986cc}{2} + 9 = 31 \)

Teoría de Grados

GRADOS DE UN MONOMIO

1. GRADO RELATIVO (G.R.)
Es el exponente correspondiente a cada variable del monomio.
2. GRADO ABSOLUTO (G.A.)
Es la suma de todos los grados relativos del monomio.
EJEMPLO Determina los grados relativos y absoluto del siguiente monomio:
$$ M(x, y, z) = -7a^2x^3y^5z^6 $$

Resolución

$$ G.R.(x) = 3 \quad ; \quad G.R.(y) = 5 \quad ; \quad G.R.(z) = 6 $$
$$ G.A.(M) = 3 + 5 + 6 = \color{red}{14} $$

Nota: Recuerda que el exponente \( 2 \) no se considera como grado, ya que la letra \( a \) no es una variable según la notación inicial \( M(x, y, z) \). Por lo tanto, \( a^2 \) pasa a formar parte del coeficiente.

GRADOS DE UN POLINOMIO

1. GRADO RELATIVO (G.R.)
Es el mayor exponente de cada variable del polinomio.
2. GRADO ABSOLUTO (G.A.)
Es el mayor grado absoluto de los monomios que lo conforman.

Halla los grados relativos y absolutos para cada uno de los términos algebraicos que conforman la siguiente expresión:

$$ E(x;y) = 3x^4y^{-1} – \sqrt[3]{5}x^{-3}y^7 + 2x^3y^3 $$
\( GR_x = 4 \)

\( GR_y = -1 \)
\( G.A. = 3 \)
\( GR_x = -3 \)
\( GR_y = 7 \)

\( G.A. = 4 \)
\( GR_x = 3 \)
\( GR_y = 3 \)
\( G.A. = 6 \)
Grado relativo
(respecto a una variable)
Es el mayor de los grados relativos que tiene dicha variable en toda la expresión.
\( GR_x = 4 \) \( GR_y = 7 \)
Grado absoluto
(de la expresión)
Es el mayor de los grados absolutos que tienen los términos de la expresión.
\( G.A. = 6 \) «Grado de la expresión»

FORMA GENERAL DE UN POLINOMIO DE UNA SOLA VARIABLE

$$ P(x) = \color{#cc0000}{a_0}x^n + \color{#cc0000}{a_1}x^{n-1} + \color{#cc0000}{a_2}x^{n-2} + \dots + \color{#cc0000}{a_n} \quad ; \quad \color{#cc0000}{a_0} \neq 0 $$

Donde:

  • Variable: \( x \)
  • Grado del polinomio: \( n \)
  • Coeficientes: \( a_0 ; a_1 ; a_2 \dots ; a_n \)
  • Coeficiente principal: \( a_0 \)
  • Término independiente: \( a_n \)

Ejemplo de aplicación:

$$ P(x) = \color{#cc0000}{6}x^7 + \color{#cc0000}{5}x^9 + x^2 – x \color{#cc0000}{- 3} $$
  • Variable: \( x \)
  • Grado del polinomio: 9
  • Coeficientes: 6; 5; 1; -1; -3
  • Coeficiente principal: 5
  • Suma de Coeficientes: 6 + 5 + 1 – 1 – 3 = 8
  • Término independiente: -3

Nota importante:

  • El coeficiente principal es 5 porque es el número que acompaña a la variable con el mayor exponente (en este caso, \( x^9 \)). ¡No te confundas con el primer número que aparece!
  • El término independiente es -3 porque es el único término que no está acompañado por la variable \( x \) (es decir, no depende de la variable).

Suma de Coeficientes y Término Independiente

Dado el siguiente polinomio \(P(x)\):

$$P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$
Suma de coeficientes = \(a+b+c+d\)
Término independiente = \(d\)

Definición Práctica:

  • • Suma de Coeficientes: La variable del polinomio se reemplaza por el número «1».
    $$\Sigma\text{Coeficientes }P(x)=P(1)$$
  • • Término Independiente: La variable del polinomio se reemplaza por el número «0».
    $$T.I. P(x)=P(0)$$
Ejemplo: Hallar la suma de coeficientes y el término independiente del polinomio:
$$ P(x) = x^3 + 3x^2 – 5 $$

Método 1: Forma Visual (Inspección Directa)

Identificamos los coeficientes directamente mirando la expresión. (Recuerda que la variable \(x^3\) tiene un coeficiente «1» sobreentendido):

$$ P(x) = \color{#cc0000}{1}x^3 \color{#cc0000}{+ 3}x^2 \color{#cc0000}{- 5} $$
  • Suma de coeficientes: \( 1 + 3 – 5 = \color{red}{-1} \)
  • Término independiente: Es la parte numérica que no está acompañada de la variable \(x\), es decir: \( \color{red}{-5} \)

Método 2: Aplicando las Propiedades (Valor Numérico)

Usamos las fórmulas prácticas que acabamos de aprender: \( P(1) \) y \( P(0) \).

Suma de Coeficientes = \( P(1) \)
$$ P(1) = (1)^3 + 3(1)^2 – 5 $$ $$ P(1) = 1 + 3(1) – 5 $$ $$ P(1) = 1 + 3 – 5 $$ $$ P(1) = \color{red}{-1} $$
Término Independiente = \( P(0) \)
$$ P(0) = (0)^3 + 3(0)^2 – 5 $$ $$ P(0) = 0 + 3(0) – 5 $$ $$ P(0) = 0 + 0 – 5 $$ $$ P(0) = \color{red}{-5} $$
¡Como puedes observar, ambos métodos nos llevan exactamente a la misma respuesta!
Ejemplo 2 (Nivel Avanzado): Halla el término independiente y la suma de los coeficientes de P(x).
$$ P(x) = (3x – 1)^5 + x^n + (x – 1)^5 + 3 $$

¿Por qué no usamos el método visual aquí?
Intentar desarrollar algebraicamente el binomio a la quinta potencia \( (3x – 1)^5 \) sería un proceso larguísimo, tedioso y muy propenso a errores. En polinomios complejos o con potencias altas, aplicar las propiedades del Valor Numérico es el camino más rápido y seguro.

Resolución aplicando Propiedades:

Término Independiente = P(0)
$$ P(0) = (3(0) – 1)^5 + (0)^n + (0 – 1)^5 + 3 $$ $$ P(0) = (0 – 1)^5 + 0 + (-1)^5 + 3 $$ $$ P(0) = (-1)^5 + 0 + (-1)^5 + 3 $$ $$ P(0) = -1 + 0 – 1 + 3 $$ $$ P(0) = \color{red}{1} $$
*Recuerda que una base negativa elevada a un exponente impar sigue siendo negativa.
Suma de Coeficientes = P(1)
$$ P(1) = (3(1) – 1)^5 + (1)^n + (1 – 1)^5 + 3 $$ $$ P(1) = (3 – 1)^5 + 1 + (0)^5 + 3 $$ $$ P(1) = (2)^5 + 1 + 0 + 3 $$ $$ P(1) = 32 + 1 + 0 + 3 $$ $$ P(1) = \color{red}{36} $$
*Recuerda que el número 1 elevado a cualquier exponente «n» siempre resulta 1.

Ejercicio 1:

$$ \text{Reduce: } 3x – 6y + 4x + 5y + 18x – 24x – 39y + x $$

Paso 1: Identificar y agrupar términos semejantes

Vamos a usar colores para diferenciar los términos que tienen la variable \(x\) (en azul) de los que tienen la variable \(y\) (en rojo). Recuerda que la \(x\) solita al final tiene un «1» invisible.

\( \color{#2986cc}{3x} \color{#cc0000}{- 6y} \color{#2986cc}{+ 4x} \color{#cc0000}{+ 5y} \color{#2986cc}{+ 18x} \color{#2986cc}{- 24x} \color{#cc0000}{- 39y} \color{#2986cc}{+ 1x} \)

Paso 2: Operar cada grupo por separado

Agrupamos las \(x\):

\( \color{#2986cc}{3x + 4x + 18x – 24x + 1x} \)
\( \color{#2986cc}{26x – 24x} = \color{#2986cc}{2x} \)

Agrupamos las \(y\):

\( \color{#cc0000}{- 6y + 5y – 39y} \)
\( \color{#cc0000}{- 45y + 5y} = \color{#cc0000}{- 40y} \)

Paso 3: Unir los resultados finales

\( \text{Respuesta: } \color{#2986cc}{2x} \color{#cc0000}{- 40y} \)

Ejercicio 2:

$$ \text{Reduce: } -5a^2b + 12ab^2 – 9ab^2 – 6a^2b + 4a^2b + 11ab^2 $$

Paso 1: Identificar y agrupar términos semejantes

¡Mucho cuidado con los exponentes! Agruparemos en azul los términos con \(a^2b\) y en rojo los términos con \(ab^2\):

\( \color{#2986cc}{-5a^2b} \color{#cc0000}{+ 12ab^2} \color{#cc0000}{- 9ab^2} \color{#2986cc}{- 6a^2b} \color{#2986cc}{+ 4a^2b} \color{#cc0000}{+ 11ab^2} \)

Paso 2: Operar cada grupo por separado

Suma y resta de la familia \(a^2b\):

\( \color{#2986cc}{-5a^2b – 6a^2b + 4a^2b} \)
\( \color{#2986cc}{-11a^2b + 4a^2b} = \color{#2986cc}{-7a^2b} \)

Suma y resta de la familia \(ab^2\):

\( \color{#cc0000}{+ 12ab^2 – 9ab^2 + 11ab^2} \)
\( \color{#cc0000}{+ 3ab^2 + 11ab^2} = \color{#cc0000}{+ 14ab^2} \)

Paso 3: Unir los resultados finales

\( \text{Respuesta: } \color{#2986cc}{-7a^2b} \color{#cc0000}{+ 14ab^2} \)

Ejercicio 3:

$$ \text{Reducir: } E = [-(x – y) – (2x – 3y)] + 2(2x – 5y) $$

Paso 1: Eliminar los paréntesis (Ley de signos y propiedad distributiva)

El signo negativo delante del paréntesis cambia los signos interiores. El número 2 multiplica a cada término de su paréntesis:

\( E = [-x + y – 2x + 3y] + 4x – 10y \)

Paso 2: Agrupar términos semejantes

Ya podemos quitar los corchetes. Volvemos a usar azul para identificar las \(x\) y rojo para las \(y\):

\( E = \color{#2986cc}{-x} \color{#cc0000}{+ y} \color{#2986cc}{- 2x} \color{#cc0000}{+ 3y} \color{#2986cc}{+ 4x} \color{#cc0000}{- 10y} \)

Paso 3: Operar cada grupo por separado

Agrupamos las \(x\):

\( \color{#2986cc}{-x – 2x + 4x} \)
\( \color{#2986cc}{-3x + 4x} = \color{#2986cc}{x} \)

Agrupamos las \(y\):

\( \color{#cc0000}{+ y + 3y – 10y} \)
\( \color{#cc0000}{+ 4y – 10y} = \color{#cc0000}{- 6y} \)

Paso 4: Unir los resultados finales

\( \text{Respuesta: } E = \color{#2986cc}{x} \color{#cc0000}{- 6y} \)

Ejercicio 4:

$$ \text{Dado: } P(x) = 2x + (x + 2)^2 $$ $$ \text{Hallar: } P(1) + P(2) $$

Paso 1: Calcular el valor de \( P(1) \)

Reemplazamos la variable \( x \) por el número 1 en el polinomio:

\( P(\color{red}{1}) = 2(\color{red}{1}) + (\color{red}{1} + 2)^2 \)
\( P(1) = 2 + (3)^2 \)
\( P(1) = 2 + 9 \)
\( P(1) = \color{#2986cc}{11} \)

Paso 2: Calcular el valor de \( P(2) \)

Ahora reemplazamos la variable \( x \) por el número 2 en el mismo polinomio:

\( P(\color{red}{2}) = 2(\color{red}{2}) + (\color{red}{2} + 2)^2 \)
\( P(2) = 4 + (4)^2 \)
\( P(2) = 4 + 16 \)
\( P(2) = \color{#2986cc}{20} \)

Paso 3: Calcular lo que nos piden

Finalmente, sumamos los dos resultados que acabamos de obtener:

\( P(1) + P(2) = \color{#2986cc}{11} + \color{#2986cc}{20} \)
\( \text{Respuesta: } \color{#cc0000}{31} \)

Ejercicio 5:

$$ \text{Si } P(x) = \frac{2x+1}{x-1} $$ $$ \text{Calcular: } P(P(2)) $$

Paso 1: Calcular la parte interna \( P(2) \)

Para resolver funciones anidadas, siempre empezamos de adentro hacia afuera. Primero hallaremos el valor de \( P(2) \), reemplazando la \( x \) por el número 2:

\( P(\color{red}{2}) = \frac{2(\color{red}{2}) + 1}{\color{red}{2} – 1} \)
\( P(2) = \frac{4 + 1}{1} \)
\( P(2) = \color{#2986cc}{5} \)

Paso 2: Calcular el valor exterior \( P(P(2)) \)

Como ya descubrimos que la parte interna \( P(2) \) equivale a \( 5 \), lo que realmente nos están pidiendo calcular ahora es \( P(5) \). Volvemos a usar la misma fórmula, pero reemplazando la \( x \) por el número 5:

\( P(\color{red}{5}) = \frac{2(\color{red}{5}) + 1}{\color{red}{5} – 1} \)
\( P(5) = \frac{10 + 1}{4} \)
\( P(5) = \color{#2986cc}{\frac{11}{4}} \)

Paso 3: Conclusión

\( \text{Respuesta: } \color{#cc0000}{\frac{11}{4}} \)

Ejercicio 6:

$$ \text{Sabiendo que: } E(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 $$ $$ \text{Calcular: } K = \frac{E(2) + E(-1)}{E(0) + E(1)} $$

Paso 1: Calcular los valores del numerador

Evaluamos el polinomio \( E(x) \) para \( x=2 \) y para \( x=-1 \):

\( E(\color{red}{2}) = (\color{red}{2})^3 + 3(\color{red}{2})^2 + 3(\color{red}{2}) + 1 \)
\( E(2) = 8 + 3(4) + 6 + 1 \)
\( E(2) = 8 + 12 + 6 + 1 = \color{#2986cc}{27} \)

\( E(\color{red}{-1}) = (\color{red}{-1})^3 + 3(\color{red}{-1})^2 + 3(\color{red}{-1}) + 1 \)
\( E(-1) = -1 + 3(1) – 3 + 1 \)
\( E(-1) = -1 + 3 – 3 + 1 = \color{#2986cc}{0} \)

Paso 2: Calcular los valores del denominador

Ahora evaluamos el polinomio para \( x=0 \) (término independiente) y \( x=1 \) (suma de coeficientes):

\( E(\color{red}{0}) = (\color{red}{0})^3 + 3(\color{red}{0})^2 + 3(\color{red}{0}) + 1 \)
\( E(0) = 0 + 0 + 0 + 1 = \color{#2986cc}{1} \)

\( E(\color{red}{1}) = (\color{red}{1})^3 + 3(\color{red}{1})^2 + 3(\color{red}{1}) + 1 \)
\( E(1) = 1 + 3(1) + 3(1) + 1 \)
\( E(1) = 1 + 3 + 3 + 1 = \color{#2986cc}{8} \)

Paso 3: Reemplazar en la fracción final

Sustituimos los cuatro valores que acabamos de hallar en la expresión \( K \):

\( K = \frac{\color{#2986cc}{27} + \color{#2986cc}{0}}{\color{#2986cc}{1} + \color{#2986cc}{8}} \)
\( K = \frac{27}{9} \)
\( \text{Respuesta: } K = \color{#cc0000}{3} \)

Ejercicio 7:

$$ \text{Si los términos algebraicos: } 2x^{3m} \text{ y } -10x^{15} \text{ son semejantes.} $$ $$ \text{Hallar el valor de «m»} $$

Paso 1: Calcular los valores del numerador

Evaluamos el polinomio \( E(x) \) para \( x=2 \) y para \( x=-1 \):

\( E(\color{red}{2}) = (\color{red}{2})^3 + 3(\color{red}{2})^2 + 3(\color{red}{2}) + 1 \)
\( E(2) = 8 + 3(4) + 6 + 1 \)
\( E(2) = 8 + 12 + 6 + 1 = \color{#2986cc}{27} \)

\( E(\color{red}{-1}) = (\color{red}{-1})^3 + 3(\color{red}{-1})^2 + 3(\color{red}{-1}) + 1 \)
\( E(-1) = -1 + 3(1) – 3 + 1 \)
\( E(-1) = -1 + 3 – 3 + 1 = \color{#2986cc}{0} \)

Paso 2: Calcular los valores del denominador

Ahora evaluamos el polinomio para \( x=0 \) (término independiente) y \( x=1 \) (suma de coeficientes):

\( E(\color{red}{0}) = (\color{red}{0})^3 + 3(\color{red}{0})^2 + 3(\color{red}{0}) + 1 \)
\( E(0) = 0 + 0 + 0 + 1 = \color{#2986cc}{1} \)

\( E(\color{red}{1}) = (\color{red}{1})^3 + 3(\color{red}{1})^2 + 3(\color{red}{1}) + 1 \)
\( E(1) = 1 + 3(1) + 3(1) + 1 \)
\( E(1) = 1 + 3 + 3 + 1 = \color{#2986cc}{8} \)

Paso 3: Reemplazar en la fracción final

Sustituimos los cuatro valores que acabamos de hallar en la expresión \( K \):

\( K = \frac{\color{#2986cc}{27} + \color{#2986cc}{0}}{\color{#2986cc}{1} + \color{#2986cc}{8}} \)
\( K = \frac{27}{9} \)
\( \text{Respuesta: } K = \color{#cc0000}{3} \)

Ejercicio 8:

$$ \text{1) Completa correctamente para el monomio: } R(x;y) = -4x^6y^{11} $$
  • Parte numérica: _______________________
  • Variables: _______________________
  • Exponentes: _______________________
  • Parte literal: _______________________

Análisis de la expresión:

La notación inicial \( R(x;y) \) es nuestra guía. Nos indica exactamente cuáles son las variables. A partir de ahí, completamos las partes del monomio:

  • Parte numérica (Coeficiente): -4
  • Variables: \( x ; y \)
  • Exponentes: 6 ; 11
  • Parte literal: \( x^6y^{11} \)
🎉 ¡Primer paso superado! Ya dominas el idioma algebraico 🎉

¡Felicidades por llegar hasta aquí! Acabas de dar el paso más importante en tu aprendizaje del álgebra. Ahora sabes que las letras y números no están mezclados al azar, sino que forman términos algebraicos con reglas y nombres precisos.

Ya eres capaz de identificar un polinomio real, calcular sus grados (relativo y absoluto) como un experto y hallar su valor numérico reemplazando variables. ¡Acabas de construir unos cimientos de concreto puro para todo lo que se viene en matemáticas!

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Ahora que ya conoces a los polinomios normales, es hora de presentarte a la verdadera «élite» del álgebra. En nuestra próxima lección, Polinomios II, descubriremos el mundo de los Polinomios Especiales.

Aprenderemos sobre polinomios que están perfectamente ordenados de mayor a menor, polinomios que tienen exactamente el mismo grado en todos sus términos (homogéneos) y otros que son literalmente como hermanos gemelos (idénticos).

💡 Un pequeño spoiler: Conocer la estructura profunda y las propiedades de estos polinomios te dará las herramientas analíticas necesarias para enfrentar con total seguridad los exigentes problemas del programa IB (Bachillerato Internacional). Te convertirás en un verdadero estratega algebraico, capaz de resolver ejercicios complejos con el rigor y la claridad que exigen los estándares internacionales. ¡Nos vemos en la parte II!

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