Comprender el concepto: Entender que la factorización es el proceso inverso de la multiplicación algebraica.
Identificar factores: Aprender a visualizar y extraer el «Factor Común» en expresiones que parecen muy complejas.
Dominar los métodos: Conocer y aplicar las técnicas principales, como el Factor Común, la Agrupación de términos y el uso de los Productos Notables «a la inversa».
🧩 Introducción: La «Ingeniería Inversa» del Álgebra
En nuestras clases anteriores, aprendimos a multiplicar polinomios y a usar atajos (Productos Notables) para llegar rápido al resultado. Por ejemplo, sabíamos que si multiplicamos \( (x+3)(x-3) \), obtenemos \( x^2 – 9 \).
Pero, ¿qué pasaría si hacemos el viaje de regreso? Si yo te entrego el resultado \( x^2 – 9 \) y te pido que averigües qué piezas se multiplicaron originalmente para formarlo, estarías haciendo Factorización.
Definición Clave:
Factorizar es transformar una expresión algebraica (sumas y restas) en una multiplicación de factores primos. ¡Es como desarmar una figura de Lego en sus bloques originales!
CONCEPTOS PREVIOS:
Recordemos algunas leyes que vimos el tema anterior y veamos algunos ejemplos:
1.¿Qué es un Factor Primo?
Para aprender a factorizar, primero debemos conocer nuestro límite. Imagina que factorizar es como desarmar una figura de Lego. Llegará un punto en el que te quedarás con piezas de un solo bloque que ya no se pueden separar más. En álgebra, a esa pieza indestructible la llamamos Factor Primo.
Definición Matemática: Es aquel polinomio de grado no nulo (que tiene al menos una letra) que no admite ser descompuesto como la multiplicación de dos o más polinomios.
\( x^2 + y^2 \)
✔️ SÍ es un Factor Primo
No existe ninguna fórmula que nos permita desarmar esta suma de cuadrados en una multiplicación.
\( x^2 – y^2 \)
❌ NO es un Factor Primo
Sí se puede desarmar usando Diferencia de Cuadrados: \( x^2 – y^2 = (x + y)(x – y) \)
💡 Una regla de oro que te salvará la vida:
Todo polinomio lineal de la forma \( ax + b \) (donde la «x» no tiene exponente visible) cuyos números sean P.E.S.I. (Primos Entre Sí, es decir, que no se pueden simplificar entre ellos), siempre será un polinomio primo.
Ejemplo: \( P(x) = 2x + 3 \) es primo (el 2 y el 3 no comparten divisores).
Identificando factores en un resultado: Si tenemos \( R(x) = (4x – 7)(x + 2) \), podemos afirmar con seguridad que \( (4x – 7) \) y \( (x + 2) \) son los factores primos de esa expresión. ¡Ya están desarmados al máximo!
2. ¿Qué es un Factor Algebraico?
Ya sabemos que el «Factor Primo» es la pieza más pequeña e indestructible. Ahora, un Factor Algebraico es cualquier pieza (o grupo de piezas unidas) que forme parte de nuestro polinomio original y que lo pueda dividir de forma exacta, sin que sobre nada.
Definición Matemática: Un polinomio no constante \( f(x) \) es un factor algebraico de otro polinomio \( P(x) \) si y solo si la división \( P(x) \div f(x) \) es exacta. ¡Ojo! Para que un factor sea considerado «algebraico», debe contener obligatoriamente al menos una variable (una letra). Por lo tanto, los números solos como el 1 no cuentan como factores algebraicos.
Ejemplo Práctico:
Indicar los factores algebraicos de: \( P(x) = (x + 2)(x – 2) \)
Resolución: Los divisores o factores de este polinomio son:
❌ 1 \( \rightarrow \) Es un divisor de todo número, pero es una constante, NO tiene álgebra.
Si dividimos nuestro polinomio original entre cualquiera de estos factores, ¡verás que la división sale exacta porque los términos se cancelan!
Dividiendo entre \( (x+2) \):
\( \frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)} = x – 2 \) (¡Exacto!)
Dividiendo entre \( (x-2) \):
\( \frac{(x+2)(x-2)}{(x-2)} = x + 2 \) (¡Exacto!)
Dividiendo entre todo el polinomio \( (x+2)(x-2) \):
\( \frac{(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-2)} = 1 \) (¡Exacto!)
3. ¿Qué es Factorizar un Polinomio?
En resumen: Es transformar un polinomio a una multiplicación de sus FACTORES PRIMOS o sus potencias.
Veamos cómo se ve este proceso visualmente con la siguiente tabla. Observa cómo pasamos de la expresión original a la forma factorizada (multiplicación), y de ahí extraemos nuestras «piezas de Lego» individuales:
Polinomio Original
Forma Factorizada
Factores Primos
\( x^2 – 7x \)
\( x(x – 7) \)
\( x \) , \( x – 7 \)
\( x^2 – 16 \)
\( (x + 4)(x – 4) \)
\( x + 4 \) , \( x – 4 \)
\( x^2 + 3x + 2 \)
\( (x + 2)(x + 1) \)
\( x + 2 \) , \( x + 1 \)
\( (x^2 – 9)^5 \)
\( (x + 3)^5(x – 3)^5 \)
\( x + 3 \) , \( x – 3 \)
¡Ojo al dato! En el último ejemplo, fíjate que los factores primos son solo las bases \( (x+3) \) y \( (x-3) \). ¡Los exponentes (el número 5) no se cuentan como parte del factor primo!
CRITERIOS PARA FACTORIZAR:
I. Método del Factor Común
¿En qué consiste? Consiste en buscar un término repetido en toda la expresión. ¡El secreto está en que las variables de dicho término se deberán extraer con su menor exponente!
Caso A: Cuando se repite solo una letra
Ejemplo: Factorizar \( P(x) = x^6 + 3x^2 \)
Paso 1: Descomponemos el término más grande para ver exactamente qué se repite (\( x^6 = x^4 \cdot x^2 \)):
Caso C: Cuando se factorizan Coeficientes y Variables
Ejemplo: Factorizar \( 25x^4 – 30x^3 + 10x^2 \)
Paso 1: Primero miramos los números (25, 30 y 10). Calculamos su Máximo Común Divisor (MCD), que es el número más grande que los divide a todos. En este caso es 5.
Paso 2: Ahora miramos las letras. La «x» se repite en todos, así que elegimos la que tiene el menor exponente, que es \(x^2\).
Paso 3: Juntamos ambas partes para formar nuestro verdadero Factor Común: \( 5x^2 \). Lo extraemos y dividimos mentalmente cada término original entre él:
\( = \color{#cc0000}{5x^2}(5x^2 – 6x + 2) \)
💡 Súper Tip Práctico: ¿Qué pongo dentro del paréntesis?
Si alguna vez tienes un polinomio muy grande y te confundes al extraer el factor común, hay un truco que nunca falla: toma cada término del polinomio original y divídelo entre el factor común que acabas de encontrar. ¡El resultado de esa división es exactamente lo que irá dentro del paréntesis!
Por ejemplo, en el Caso A sacamos el factor común \( \color{#cc0000}{x^2} \). Para hallar lo que va en el paréntesis, dividimos los términos originales:
¡Así comprobamos con total seguridad que dentro del paréntesis va \( (x^4 + 3) \)!
II. Método de Agrupación de Términos
¿En qué consiste? Se utiliza cuando no hay un factor común en toda la expresión. Consiste en agrupar términos de manera conveniente (usualmente de dos en dos o de tres en tres) tratando de que, al factorizar cada grupo, aparezca un nuevo factor común para todos.
Ejemplo Paso a Paso:
Factorizar: \( mx + m^2 + xy + my \)
Paso 1: Si miramos los 4 términos, no hay ninguna letra que se repita en todos. Por lo tanto, decidimos agrupar los dos primeros y los dos últimos:
\( (mx + m^2) + (xy + my) \)
Paso 2: Le aplicamos el «Factor Común» (nuestro método anterior) a cada paréntesis por separado. Del primero sacamos la «m» y del segundo sacamos la «y»:
Paso 3: ¡Magia! Ahora tenemos un Factor Común Polinomio (el paréntesis rojo). Lo extraemos hacia adelante y juntamos las «sobras» en un nuevo paréntesis:
Resultado: \( \color{#cc0000}{(x + m)}(m + y) \)
💡 Súper Tip Práctico: La prueba de fuego
¿Cómo sabes si elegiste a las parejas correctas para agrupar? Muy fácil: al terminar el Paso 2, los paréntesis que te queden DEBEN SER EXACTAMENTE IGUALES (como el \(\color{#cc0000}{x + m}\) de nuestro ejemplo). Si te quedan paréntesis diferentes, significa que agrupaste mal. ¡No te rindas! Borra, intenta juntar el primero con el tercero, y vuelve a probar.
III. Método por Identidades (Productos Notables)
¿En qué consiste? Son equivalencias algebraicas que nos permiten factorizar de modo súper directo. ¡Es aplicar exactamente las mismas fórmulas de los Productos Notables que ya conocemos, pero en reversa!
Factorizar un T.C.P. es simplemente tomar el resultado final de un Binomio al Cuadrado y hacer el camino exacto de regreso hacia el paréntesis original.
3. Suma y Diferencia de Cubos
Al igual que en Productos Notables, para factorizar primero sacaremos la raíz cúbica de los extremos para hallar nuestras bases «a» y «b».
Este poderoso método se utiliza para factorizar trinomios de la forma:
\( Ax^{2n} + Bx^n + C \)
\( Ax^{2n} + Bx^ny^k + Cy^{2k} \)
Ejemplo 1: Trinomio Básico
Factorizar: \( 3x^2 + 10x + 8 \)
\( 3x^2 \)
\( +10x \)
\( +8 \)
\( 3x \)
\( +4 \)
→
\( +4x \)
\( x \)
\( +2 \)
→
\( +6x \)
↓
\( +10x \)
\( P(x) = (3x + 4)(x + 2) \)
Ejemplo 2: ¡Cuidado con el final!
Factorizar: \( N(x) = x^4 – 13x^2 + 36 \)
\( x^4 \)
\( -13x^2 \)
\( +36 \)
\( x^2 \)
\( -4 \)
→
\( -4x^2 \)
\( x^2 \)
\( -9 \)
→
\( -9x^2 \)
↓
\( -13x^2 \)
\( N(x) = (x^2 – 4)(x^2 – 9) \)
¡Alerta! Estos paréntesis son Diferencias de Cuadrados, podemos seguir:
\( N(x) = (x + 2)(x – 2)(x + 3)(x – 3) \)
¡Más ejemplos rápidos para dominar el método!
1. \( P(x) = x^2 \color{#cc0000}{+ 7x} + 10 \)
\( x \)
\( +5 \)
\( +5x \)
\( x \)
\( +2 \)
\( +2x \)
↓ (+)
\( +7x \)
∴ \( P(x) = (x + 5)(x + 2) \)
2. \( Q(x) = 3x^2 \color{#cc0000}{+ 8x} + 5 \)
\( 3x \)
\( +5 \)
\( +5x \)
\( x \)
\( +1 \)
\( +3x \)
↓ (+)
\( +8x \)
∴ \( Q(x) = (3x + 5)(x + 1) \)
3. \( M(x) = 2x^2 \color{#cc0000}{+ 5x} – 12 \)
\( 2x \)
\( -3 \)
\( -3x \)
\( x \)
\( +4 \)
\( +8x \)
↓ (+)
\( +5x \)
∴ \( M(x) = (2x – 3)(x + 4) \)
4. \( H(x) = x^4 \color{#cc0000}{+ 4x^2} – 21 \)
\( x^2 \)
\( +7 \)
\( +7x^2 \)
\( x^2 \)
\( -3 \)
\( -3x^2 \)
↓ (+)
\( +4x^2 \)
∴ \( H(x) = (x^2 + 7)(x^2 – 3) \)
Ejercicio 1:
Llegó el momento de practicar. Factoriza las siguientes expresiones extrayendo el Factor Común Monomio. Recuerda calcular el Máximo Común Divisor (MCD) para los números y elegir las variables comunes con su menor exponente.
1. \( 4x + 12 = \) ______________
2. \( 5b^2 – 15b = \) ______________
3. \( 7p^3 – p^2 = \) ______________
4. \( 3k^3 + 12k^2 = \) ______________
5. \( ab^3 + 3a^2b^2 = \) ______________
6. \( 6x^2y^3 – 18x^3y^4 = \) ______________
7. \( 9u^3v – 27u^2v^2 = \) ______________
8. \( 8pq^2r^3 + 24p^2q^3r^5 = \) ______________
¡Comprueba tus respuestas! Para que no te quede ninguna duda, te he resaltado el Factor Común en color rojo. Si divides la expresión original entre ese factor rojo, obtendrás exactamente lo que va dentro del paréntesis.
1. \( 4x + 12 \)
F.C. = \(\color{#cc0000}{4}\)
\( = \color{#cc0000}{4}(x + 3) \)
2. \( 5b^2 – 15b \)
F.C. = \(\color{#cc0000}{5b}\)
\( = \color{#cc0000}{5b}(b – 3) \)
3. \( 7p^3 – p^2 \)
F.C. = \(\color{#cc0000}{p^2}\)
\( = \color{#cc0000}{p^2}(7p – 1) \)
4. \( 3k^3 + 12k^2 \)
F.C. = \(\color{#cc0000}{3k^2}\)
\( = \color{#cc0000}{3k^2}(k + 4) \)
5. \( ab^3 + 3a^2b^2 \)
F.C. = \(\color{#cc0000}{ab^2}\)
\( = \color{#cc0000}{ab^2}(b + 3a) \)
6. \( 6x^2y^3 – 18x^3y^4 \)
F.C. = \(\color{#cc0000}{6x^2y^3}\)
\( = \color{#cc0000}{6x^2y^3}(1 – 3xy) \)
7. \( 9u^3v – 27u^2v^2 \)
F.C. = \(\color{#cc0000}{9u^2v}\)
\( = \color{#cc0000}{9u^2v}(u – 3v) \)
8. \( 8pq^2r^3 + 24p^2q^3r^5 \)
F.C. = \(\color{#cc0000}{8pq^2r^3}\)
\( = \color{#cc0000}{8pq^2r^3}(1 + 3pqr^2) \)
Ejercicio 2:
Sube de nivel. En estos casos, notarás que el factor repetido ya no es una sola letra o número, sino ¡un paréntesis entero! Identifica ese bloque en común, extráelo hacia adelante y agrupa las «sobras» en un nuevo paréntesis.
¡Revisa tu procedimiento! Te he resaltado el Factor Común Polinomio en rojo. Fíjate cómo al sacarlo, todo lo que queda afuera se agrupa automáticamente en un segundo paréntesis.
1. \( 3(y + 5) – p(y + 5) + q(y + 5) \)
F.C. = \(\color{#cc0000}{(y + 5)}\)
\( = \color{#cc0000}{(y + 5)}(3 – p + q) \)
2. \( m(b – 2) + n(b – 2) – k(b – 2) \)
F.C. = \(\color{#cc0000}{(b – 2)}\)
\( = \color{#cc0000}{(b – 2)}(m + n – k) \)
3. \( x(p + q) + y(p + q) – z(p + q) \)
F.C. = \(\color{#cc0000}{(p + q)}\)
\( = \color{#cc0000}{(p + q)}(x + y – z) \)
4. \( r(x – y) – s(x – y) + t(x – y) \)
F.C. = \(\color{#cc0000}{(x – y)}\)
\( = \color{#cc0000}{(x – y)}(r – s + t) \)
Ejercicio 3:
¡Pon a prueba tu visión algebraica! En estos polinomios largos no hay un factor común para todos al mismo tiempo. Deberás agrupar convenientemente los términos (de dos en dos o de tres en tres) para que aparezca un nuevo factor común escondido.
¡Verifica tu agrupación! Te muestro el paso intermedio para que veas qué términos junté, y he resaltado el nuevo factor común en rojo.
1. \( px – py – qx + qy – rx + ry \)
Agrupamos de a dos: \( p(x – y) – q(x – y) – r(x – y) \)
\( = \color{#cc0000}{(x – y)}(p – q – r) \)
2. \( 3p + 3q – px – qx + py + qy \)
Agrupamos de a dos: \( 3(p + q) – x(p + q) + y(p + q) \)
\( = \color{#cc0000}{(p + q)}(3 – x + y) \)
3. \( 5mx – 5nx + my – ny – 5m + 5n \)
Agrupamos de a dos: \( 5x(m – n) + y(m – n) – 5(m – n) \)
\( = \color{#cc0000}{(m – n)}(5x + y – 5) \)
4. \( 7px – 7qx + 3p^2q – 3pq^2 – pr + qr \)
Agrupamos de a dos: \( 7x(p – q) + 3pq(p – q) – r(p – q) \)
\( = \color{#cc0000}{(p – q)}(7x + 3pq – r) \)
Ejercicio 4:
¡Un excelente reto algebraico! En este caso no solo debes factorizar, sino que deberás utilizar el resultado para simplificar una fracción. Aplica el método de «Agrupación» en el numerador y «Factor Común Monomio» en el denominador.
Como el bloque \((3m – n)\) está multiplicando arriba y abajo, ¡los podemos cancelar (eliminar)!
Resultado final: \( \frac{x – y}{y} \)
Ejercicio 5:
¡Nivel avanzado! En estas expresiones tendrás que estar muy atento. A veces deberás extraer un Factor Común primero, para luego aplicar la Diferencia de Cuadrados de forma sucesiva. ¡Descompón los polinomios hasta llegar a sus factores primos más simples!
1) \( x^6 – y^6 \) = _______________
2) \( w^8 – z^8 \) = _______________
3) \( 3p^{16} – 3q^{16} \) = _______________
4) \( 25u^{11} – 16uv^{10} \) = _______________
5) \( 9m^9 – 144m \) = _______________
6) \( -64 + 4k^8 \) = _______________
¿Pudiste llegar hasta el final? Recuerda que una Suma de Cuadrados ya no se puede factorizar, pero una Diferencia de Cuadrados siempre se puede seguir abriendo. Fíjate en los pasos:
¡Pon a prueba todo lo que has aprendido! En esta fracción algebraica tendrás que aplicar el Factor Común Polinomio, la Diferencia de Cuadrados y el Factor Común Monomio. Recuerda trabajar el numerador y el denominador por separado antes de simplificar.
¡Un verdadero desafío algebraico! Observa cómo desarmamos este problema paso a paso aplicando tres métodos distintos:
Paso 1: Numerador (Factor Común Polinomio y Diferencia de Cuadrados)
Expresión de arriba: \( x(x^2 – 9) – 1(x^2 – 9) \) Fíjate que le pusimos un «1» invisible al segundo paréntesis para guiarnos.
Extraemos el paréntesis repetido: \( \color{#cc0000}{(x^2 – 9)}(x – 1) \)
Aplicamos Diferencia de Cuadrados al bloque rojo: \( (x + 3)(x – 3)(x – 1) \)
Paso 2: Denominador (Factor Común Monomio)
Expresión de abajo: \( (x^2 – 3x)(x – 1) \)
El primer paréntesis tiene una «x» en común. La extraemos: \( \color{#cc0000}{x(x – 3)} \)
Todo el denominador queda así: \( x(x – 3)(x – 1) \)
Paso 3: Reemplazamos y Simplificamos
Escribimos la fracción con todas sus piezas factorizadas:
Los bloques \((x – 3)\) y \((x – 1)\) se repiten arriba y abajo. ¡Los eliminamos!
Resultado final: \( \frac{x + 3}{x} \)
Ejercicio 7:
¡Cuidado con los exponentes! Para factorizar estos binomios, el primer paso obligatorio es extraer la raíz cúbica de cada término para descubrir quiénes son tus bases originales. Una vez que tengas las bases, aplica la fórmula correspondiente.
1) \( 27y^6 + 512 = \) __________________
2) \( m^3 + 64n^{15} = \) __________________
3) \( 64p^9 – 27q^6r^{12} = \) __________________
4) \( 125u^6 + 216v^9 = \) __________________
5) \( 1000 – w^{15} = \) __________________
¡Revisa tu procedimiento! Para que domines este método a la perfección, te he desglosado los dos primeros ejercicios paso a paso.
• Conocemos los extremos: la raíz de \(y^2\) es y y la raíz de \(25\) es 5.
• Ya tenemos las dos bases: y y 5. El binomio queda como \( (y + 5)^2 \).
• El medio debe ser el doble producto: \( 2(y)(5) = \mathbf{10y} \).
• Sabemos que la raíz de 25 es 5. Ya tenemos la segunda base.
• El término central es \(20m\). Aplicamos la fórmula: \( 2 \cdot (\text{base 1}) \cdot 5 = 20m \).
• Por deducción: \( 10 \cdot (\text{base 1}) = 20m \), entonces la primera base es 2m.
• El primer término del trinomio será esa base al cuadrado: \( (2m)^2 = \mathbf{4m^2} \).
• La raíz de \(36p^2\) es 6p y la raíz de \(81\) es 9.
• Colocamos la base faltante en el binomio: 6p.
• El término central es el doble producto de estas bases: \( 2(6p)(9) = \mathbf{108p} \).
• La raíz de \(16a^6\) es 4a³. Esta es nuestra primera base.
• La segunda base ya nos la dan: b². Su cuadrado es el tercer término: \( (b^2)^2 = \mathbf{b^4} \).
• El término central es el doble producto: \( 2(4a^3)(b^2) = \mathbf{8a^3b^2} \).
• Tenemos la primera base 5u, su cuadrado es el primer término: \( (5u)^2 = \mathbf{25u^2} \).
• Del término \(49v^2\) sacamos la raíz: 7v. Esta es la segunda base.
• El término central (resta) es el doble producto: \( 2(5u)(7v) = \mathbf{70uv} \).
¡Es hora de aplicar lo aprendido! Factoriza las siguientes expresiones utilizando el método de Identidades (Trinomio Cuadrado Perfecto). Recuerda siempre verificar que el término central coincida con el «doble producto» antes de escribir tu respuesta, ¡y ten mucho cuidado porque algunos polinomios podrían estar desordenados!
a) \( 16m^2 – 40mn + 25n^2 = \) __________________
b) \( 64q^2 + p^2 – 16pq = \) __________________
c) \( u^2 + 81v^2 + 18uv = \) __________________
¡Compara tu desarrollo! El secreto para no fallar nunca en un T.C.P. es ordenar siempre el polinomio primero (de mayor a menor grado) y luego hacer la prueba del «doble producto».
a) \( 16m^2 – 40mn + 25n^2 \)
El polinomio ya está ordenado. Raíces de los extremos: \(\color{#cc0000}{4m}\) y \(\color{#2986cc}{5n}\).
Comprobamos el medio: \( 2(4m)(5n) = 40mn \). ¡Coincide! Como hay un «menos», usamos la fórmula de resta.
\( = (4m – 5n)^2 \)
b) \( 64q^2 + p^2 – 16pq \)
¡Cuidado, está desordenado! Lo ordenamos alfabéticamente: \( p^2 – 16pq + 64q^2 \)
Raíces de los extremos: \(\color{#cc0000}{p}\) y \(\color{#2986cc}{8q}\). Comprobamos el medio: \( 2(p)(8q) = 16pq \). ¡Coincide!
\( = (p – 8q)^2 \)
c) \( u^2 + 81v^2 + 18uv \)
Lo ordenamos colocando las variables combinadas al medio: \( u^2 + 18uv + 81v^2 \)
Raíces de los extremos: \(\color{#cc0000}{u}\) y \(\color{#2986cc}{9v}\). Comprobamos el medio: \( 2(u)(9v) = 18uv \). ¡Coincide!
\( = (u + 9v)^2 \)
Ejercicio 10:
¡Volvemos a uno de los métodos más importantes! Aplica el Criterio del Aspa Simple para factorizar los siguientes trinomios. Recuerda buscar dos números que multiplicados te den el último término, y que sumados (o restados) te den exactamente el término central. ¡Cuidado con la regla de los signos!
1) \( m^2 + 8m + 15 \) = __________________
2) \( n^2 – 7n + 12 \) = __________________
3) \( p^2 + 6p + 5 \) = __________________
4) \( q^2 – 11q + 24 \) = __________________
¡Comprueba tus aspas! Aquí tienes el desarrollo visual de cada trinomio. Observa cómo la suma de los productos cruzados siempre coincide exactamente con el término central en rojo.
1) \( m^2 \color{#cc0000}{+ 8m} + 15 \)
\( m \)
\( +5 \)
\( +5m \)
\( m \)
\( +3 \)
\( +3m \)
↓ (+)
\( +8m \)
∴ \( (m + 5)(m + 3) \)
2) \( n^2 \color{#cc0000}{- 7n} + 12 \)
\( n \)
\( -4 \)
\( -4n \)
\( n \)
\( -3 \)
\( -3n \)
↓ (+)
\( -7n \)
∴ \( (n – 4)(n – 3) \)
3) \( p^2 \color{#cc0000}{+ 6p} + 5 \)
\( p \)
\( +5 \)
\( +5p \)
\( p \)
\( +1 \)
\( +1p \)
↓ (+)
\( +6p \)
∴ \( (p + 5)(p + 1) \)
4) \( q^2 \color{#cc0000}{- 11q} + 24 \)
\( q \)
\( -8 \)
\( -8q \)
\( q \)
\( -3 \)
\( -3q \)
↓ (+)
\( -11q \)
∴ \( (q – 8)(q – 3) \)
Ejercicio 11:
¡Llegaste al jefe final! Esta fracción algebraica gigante combina todo tu arsenal. Para no marearte, analiza cada paréntesis por separado en tu cuaderno: usa el Aspa Simple donde veas trinomios y la Diferencia de Cuadrados donde haya dos términos restándose. ¡Factoriza, reemplaza en la fracción y luego elimina los factores que se repitan!
¡Magia! Cancelamos los factores que se repiten arriba y abajo.
Resultado: \( M = \frac{x + 5}{x + 6} \)
🏆 ¡Nivel Superado! Eres un maestro de la Factorización
¡Muchísimas felicidades! Acabas de terminar una de las lecciones más extensas y fundamentales de toda la matemática. Dominar la Factorización te permitirá simplificar problemas gigantescos y es la llave maestra para absolutamente todo lo que viene en tu etapa escolar y universitaria.
Al principio, encontrar el factor común escondido o buscar los números exactos en el Aspa Simple puede parecer un rompecabezas. Pero te prometo que con la práctica, tu cerebro empezará a reconocer las Diferencias de Cuadrados y las aspas al instante, ¡casi como un superpoder! Te invito a repasar estos 11 ejercicios en tu cuaderno hasta que te salgan de forma natural.
🚀 Próxima parada: Las Ecuaciones
Ya aprendiste a desarmar polinomios, convertirlos en multiplicaciones y simplificar fracciones complejas. Pero, ¿qué pasaría si igualamos todas estas expresiones a un número para descubrir el valor secreto de la incógnita \( x \)? ¡Prepárate, porque en nuestro siguiente gran tema usaremos todo lo que aprendiste hoy para resolver Ecuaciones!
