Potenciación y Radicación con Fracciones
Por Joao / 16 de julio de 2026
Introducción a las Operaciones con Fracciones II
¡El entrenamiento continúa, Detectives A+! Ya hemos dominado el arte de sumar, restar, multiplicar y dividir nuestras fracciones. Pero el mundo de las matemáticas siempre nos tiene sorpresas guardadas. ¿Recuerdas cuando en Álgebra vimos cómo los números enteros se elevaban a una potencia o se escondían dentro de una raíz? Bueno, ¡ha llegado el momento de descubrir cómo reaccionan las fracciones ante estos mismos poderes matemáticos!
Imagina que en una expedición decidimos armar nuestro campamento base. Si sabemos que el terreno que nos asignaron tiene forma cuadrada y ocupa exactamente 16/25 de un kilómetro cuadrado, ¿cómo calculamos cuánto mide cada lado de nuestro campamento? O si descubrimos que cada hora que subimos, nuestro gasto de energía se multiplica por sí mismo (se eleva al cuadrado), ¿cómo calculamos esa fracción? Para resolver estos nuevos misterios, usaremos la potenciación y radicación de fracciones. ¡No te preocupes, verás que aplican la misma lógica súper justa de repartir el poder entre el número de arriba y el de abajo!
Nuestros Objetivos A+ en este capítulo:
- 1. El Poder de los Exponentes (Potenciación): Descubriremos la regla de oro: un exponente fuera del paréntesis afecta por igual al numerador y al denominador. ¡Aprenderemos a elevar fracciones enteras sin confundirnos!
- 2. Descifrando la Raíz (Radicación): Veremos cómo una raíz gigante que cubre a toda una fracción se puede «repartir» amigablemente: una raíz para el número de arriba y otra para el de abajo.
- 3. Operaciones Combinadas Nivel Leyenda: Pondremos a prueba la verdadera jerarquía de operaciones, combinando estas nuevas potencias y raíces con nuestras viejas amigas: las sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
«En las matemáticas, cuando multiplicamos nuestro esfuerzo, ¡nuestros resultados se elevan a su máxima potencia!» — A+ Mathmentor
Saberes Previos
💡 Tip A+ Math: ¡Los poderes ocultos del Álgebra!
Antes de entrar al mundo de las fracciones, recordemos cómo funcionaba la potenciación con los números enteros. Recuerda que la base es el número grande que se va a multiplicar, y el exponente (el número pequeñito arriba) nos dice cuántas veces se multiplica esa base por sí misma. ¡Cuidado con los signos!
Vamos a calentar motores resolviendo estos pequeños retos:
1. Efectuar: 4 · 4 · 4 · 4
Vemos que el número 4 se está multiplicando por sí mismo 4 veces. Esto lo podemos escribir como una potencia: 44.
Si multiplicamos paso a paso: 4 × 4 = 16, luego 16 × 4 = 64, y finalmente 64 × 4 = 256.
2. Efectuar: (−2)5
Aquí la base es negativa (−2) y el exponente es impar (5). Recuerda la regla: Base negativa elevada a un exponente impar, siempre da resultado negativo.
Multiplicamos el 2 cinco veces (2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32) y le ponemos el signo menos. El resultado es −32.
3. Efectuar: (−5)2
Nuestra base es negativa (−5), pero esta vez el exponente es par (2). La regla dice: Base negativa elevada a un exponente par, el resultado se vuelve positivo, porque (−) × (−) = (+).
Resolvemos 5 × 5 = 25, así que el resultado es +25 (o simplemente 25).
4. Efectuar: (−3) · (−3) · (−3)
El (−3) se multiplica tres veces. Esto es igual a decir (−3)3. Como el exponente (3) es impar, el resultado será negativo.
Multiplicamos 3 × 3 × 3 = 27. El resultado final es −27.
5. Efectuar: (−4)2 (−5)2
¡Una fracción con potencias! Resolvemos el de arriba y el de abajo por separado.
Arriba: (−4)2 es par, se vuelve positivo = +16.
Abajo: (−5)2 es par, se vuelve positivo = +25.
El resultado es la fracción 1625. ¡Excelente, ya estás listo para el siguiente nivel!
Potenciación en números fraccionarios
La potencia de una fracción funciona exactamente igual que con los números normales: es el resultado de multiplicar «n» veces esa misma fracción.
«n-ésima» → ( a b ) n = P
Donde:
- «n» es el exponente (nos dice cuántas veces se multiplica).
- «a/b» es la base racional (nuestra fracción, donde «a» es el numerador y «b» el denominador).
- «P» es la potencia (el resultado final).
➡️ Ejemplo detallado:
Imagina que tenemos la fracción 3/4 elevada al cubo (a la 3). Esto significa que toda la fracción debe ser multiplicada por sí misma tres veces:
Como pudiste notar, ¡el exponente 3 se repartió para el de arriba y para el de abajo de forma justa! Por lo tanto, podemos afirmar la siguiente regla general:
Signos de una potencia de base racional
Tal como recordamos en los saberes previos, los signos siguen reglas estrictas. ¡Aplica lo mismo para las fracciones!
Será POSITIVA si el exponente es par (como en este ejemplo).
Será NEGATIVA si el exponente es impar.
Propiedades de la Potenciación
💡 Tip A+ Math: ¡Los mismos superpoderes del Álgebra!
Las propiedades (o teoremas) que aprendiste con los números enteros funcionan exactamente igual con las fracciones. ¡Solo recuerda que ahora tu base completa es una fracción protegida por su paréntesis! Estas propiedades son como atajos secretos que nos ahorran tener que multiplicar números gigantes.
• Producto de bases iguales
Cuando multiplicamos dos potencias que tienen la misma base (es decir, la misma fracción idéntica), el truco es muy simple: copiamos la misma base y sumamos los exponentes.
• Potencia de potencia
Si tienes una fracción elevada a un exponente, y todo ese paquete está elevado a otro exponente más (como un sándwich de poderes), la regla es: dejamos la base y multiplicamos los exponentes.
• Potencia de un producto
Cuando tienes una multiplicación de dos fracciones distintas y todo el grupo está elevado a un exponente, ¡el poder se reparte! Cada fracción recibe su propio exponente.
• Cociente de bases iguales (División)
Esta es la hermana gemela de la Propiedad 1. Si dividimos dos potencias que tienen la misma base, el truco es mantener la base y restar los exponentes (siempre el de arriba menos el de abajo).
Radicación en números fraccionarios
En el tema anterior, aprendimos que la potenciación consiste en multiplicar una fracción por sí misma varias veces. Bueno, ¡la radicación es hacer el trabajo de un detective yendo hacia atrás! Si nos dan el resultado final (la potencia) y nos dicen cuántas veces se multiplicó (el exponente), nuestro trabajo es descubrir cuál era la fracción original (la base).
💡 Tip A+ Math: ¡La Operación Inversa!
La radicación es la operación inversa (lo contrario) de la potenciación. Así como la resta deshace a la suma, la raíz deshace a la potencia. ¡Si dominas la potenciación, ya tienes el 50% de la radicación dominada!
Donde:
- «P»: radicando (el número de adentro).
- «n»: índice (debe ser mayor o igual a 2).
- «a/b»: raíz (nuestra respuesta final).
- √ : operador radical (el símbolo).
➡️ Ejemplo detallado:
Supongamos que nos piden hallar la raíz cúbica (índice 3) de la fracción 27/125. Para resolverlo, el operador radical se reparte justamente: saca la raíz del de arriba y la raíz del de abajo por separado.
¿Cómo lo supimos? Nos preguntamos: «¿Qué número multiplicado 3 veces por sí mismo da 27?» (La respuesta es 3, porque 3x3x3=27). Luego: «¿Qué número multiplicado 3 veces por sí mismo da 125?» (La respuesta es 5, porque 5x5x5=125).
Signos en la radicación
Al igual que en las potencias, ¡los signos son muy importantes aquí! Todo depende de dos cosas: el número del índice (si es par o impar) y el signo del radicando (lo de adentro). Vamos a ver los 4 casos posibles detalladamente.
Si el índice es impar (3, 5, 7…) y lo de adentro es positivo, el resultado sigue siendo feliz y positivo.
Si el índice es impar, el signo «se escapa» de la raíz. Como vimos en potencias, multiplicar un negativo una cantidad impar de veces da negativo. Por eso, el resultado será negativo.
Si el índice es par (2, 4, 6… recuerda que si no hay número, es un 2 imaginario) y el interior es positivo, el resultado es positivo con normalidad.
¡ALERTA DE DETECTIVE! 🛑
Si el índice es par y lo de adentro es negativo… ¡No existe solución en los números Reales (\(\mathbb{R}\))! ¿Por qué? Porque ningún número (positivo o negativo) multiplicado por sí mismo una cantidad PAR de veces puede dar como resultado un número negativo. Si ves esto, puedes decir con orgullo: «¡Este ejercicio no tiene solución aquí!».
Propiedades de la Radicación
💡 Tip A+ Math: ¡La Magia de las Propiedades!
Así como en Álgebra usamos atajos para no calcular números enormes, con las fracciones pasa lo mismo. Las propiedades o teoremas nos permiten separar raíces gigantes en pequeñas, o juntarlas para que sean más fáciles de resolver. ¡Observa bien las fórmulas en las cajas verdes, son tus nuevas herramientas de detective!
• Raíz de un cociente (Fracción)
Cuando una raíz gigante cubre a toda una fracción, el poder de la raíz se reparte de forma justa: le sacas la raíz al numerador (arriba) y la misma raíz al denominador (abajo) por separado. ¡Así es mucho más fácil!
• Exponente fraccionario
¡El puente secreto entre potencias y raíces! Si una fracción tiene un exponente y, a la vez, está dentro de una raíz, puedes transformarlos en un único exponente en forma de fracción. El exponente de adentro sube como numerador, y el índice de la raíz pasa como denominador.
• Raíz de un producto
Si dos fracciones se están multiplicando dentro de una misma raíz, puedes separarlas. Cada fracción se independiza y se lleva su propia raíz con el mismo índice. ¡Perfecto para resolverlas una por una!
• Raíz de raíz
El efecto de la «Muñeca Rusa». Si tienes raíces dentro de otras raíces cubriendo a una fracción, solo tienes que copiar la misma base y multiplicar todos los índices para fusionarlos en una sola súper raíz.
Ejercicio 1:
Calcule las siguientes potencias:
💡 Tip A+ Math: ¡Poder para todos!
Recuerda que cuando una fracción está entre paréntesis y elevada a un exponente, ¡el exponente se reparte! Afecta tanto al número de arriba (numerador) como al de abajo (denominador). Y no olvides tu entrenamiento con los signos: si la base es negativa y el exponente es impar, ¡el resultado será negativo!
Resolución paso a paso:
-
a) Resolvemos la primera potencia
Repartimos el exponente \(3\) para el numerador (\(2\)) y para el denominador (\(3\)). Luego, multiplicamos:\[\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{2\cdot 2\cdot 2}{3\cdot 3\cdot 3}=\frac{8}{27}\] -
b) Resolvemos la segunda potencia
Hacemos exactamente lo mismo: el exponente \(2\) se reparte para el \(7\) y para el \(9\). ¡Cuidado, no es multiplicar por 2, es multiplicar el número por sí mismo!\[\left(\frac{7}{9}\right)^2=\frac{7^2}{9^2}=\frac{7\cdot 7}{9\cdot 9}=\frac{49}{81}\] -
c) Resolvemos la tercera potencia (¡Atención al signo!)
Tenemos una base negativa \(-\frac{4}{3}\) y un exponente impar (\(3\)). Por regla de signos, nuestro resultado final será negativo. Repartimos el cubo:\[\left(\frac{-4}{3}\right)^3=\frac{(-4)^3}{3^3}=\frac{-64}{27}=-\frac{64}{27}\]
¡Excelente trabajo aplicando el exponente a cada término! 🎯
Ejercicio 2:
Halle las siguientes raíces:
💡 Tip A+ Math: ¡Repartiendo la raíz!
Recuerda nuestra primera propiedad: cuando una raíz gigante abraza a toda una fracción, debes darle una raíz al número de arriba y otra igual al número de abajo. ¡Ah, y no olvides tu escudo contra los signos! Analiza siempre si el índice es par o impar antes de resolver.
Resolución paso a paso:
-
a) Raíz cuadrada (índice 2 imaginario)
Repartimos la raíz arriba y abajo. Luego, buscamos qué número multiplicado por sí mismo da \(81\) y qué número da \(49\):\[\sqrt{\frac{81}{49}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{49}}=\frac{9}{7}\] -
b) Raíz cúbica con signo negativo
Como el índice es impar (\(3\)) y lo de adentro es negativo, sabemos que el resultado debe ser negativo. Repartimos la raíz cúbica y buscamos números que, multiplicados \(3\) veces por sí mismos, nos den los valores:\[\sqrt[3]{\frac{-27}{125}}=\frac{\sqrt[3]{-27}}{\sqrt[3]{125}}=\frac{-3}{5}=-\frac{3}{5}\] -
c) Raíz séptima
¡No te asustes por el número 7! Repartimos la raíz. Recuerda que la raíz de \(1\) siempre es \(1\) (porque \(1\) multiplicado por sí mismo las veces que sea sigue siendo \(1\)). Para el \(128\), buscamos un número que multiplicado \(7\) veces nos dé \(128\) (pista: ¡siempre empieza probando con el 2!):\[\sqrt[7]{\frac{1}{128}}=\frac{\sqrt[7]{1}}{\sqrt[7]{128}}=\frac{1}{2}\]
¡Gran trabajo desarmando esas raíces gigantes en partes pequeñas! 🔍
Ejercicio 3:
Utilizando la división de potencias de igual base, escriba como una sola potencia las siguientes expresiones, sin calcularlas.
💡 Tip A+ Math: ¡Guerra de Exponentes!
Recuerda nuestra propiedad de Cociente de bases iguales: cuando dividimos dos potencias que tienen exactamente la misma base (la misma fracción), simplemente copiamos la base y restamos sus exponentes (el primero menos el segundo). ¡Ojo de lince! Si ves una fracción sin exponente escrito, ¡siempre tiene un «1» invisible protegiéndola!
Resolución paso a paso:
-
a) Cuidado con el «1» invisible
Tenemos la misma base \(9/8\). La primera tiene exponente \(10\) y la segunda no tiene número, lo que significa que su exponente es \(1\). Mantenemos la base y restamos los exponentes: \(10 – 1 = 9\).\[\left(\frac{9}{8}\right)^{10}\div\left(\frac{9}{8}\right)^1=\left(\frac{9}{8}\right)^{10-1}=\left(\frac{9}{8}\right)^9\] -
b) Restando exponentes
Nuestra base es la fracción negativa \(-5/2\). Restamos el primer exponente menos el segundo: \(4 – 3 = 1\). Recuerda que elevar a la \(1\) es lo mismo que dejar la fracción tal cual, pero como nos piden expresarlo como «una sola potencia», lo dejaremos con su \(1\).\[\left(\frac{-5}{2}\right)^4\div\left(\frac{-5}{2}\right)^3=\left(\frac{-5}{2}\right)^{4-3}=\left(\frac{-5}{2}\right)^1\] -
c) Un último repaso
La base común es \(1/5\). Restamos los exponentes \(6\) y \(4\), lo que nos da como nuevo exponente \(2\):\[\left(\frac{1}{5}\right)^6\div\left(\frac{1}{5}\right)^4=\left(\frac{1}{5}\right)^{6-4}=\left(\frac{1}{5}\right)^2\]
¡Ves qué fácil es cuando usamos las propiedades a nuestro favor! ✨
Ejercicio 4:
Escribe como una sola potencia, sin calcularlas.
💡 Tip A+ Math: ¡El efecto Muñeca Rusa!
Aplica la propiedad de Potencia de potencia. Cuando tienes exponentes separados por paréntesis, corchetes o llaves, el truco es dejar la misma base (la fracción) y multiplicar todos los exponentes. ¡No olvides repasar la ley de signos al multiplicar!
Resolución paso a paso:
-
a) Multiplicación con signos negativos
Dejamos nuestra base que es \(4/9\). Ahora multiplicamos los exponentes: \((-5)\cdot(-2)\). Recuerda que «menos por menos da más», así que nos queda \(10\) positivo.\[\left[\left(\frac{4}{9}\right)^{-5}\right]^{-2}=\left(\frac{4}{9}\right)^{(-5)\cdot(-2)}=\left(\frac{4}{9}\right)^{10}\] -
b) Multiplicación directa
Esta es más directa. Mantenemos la base \(3/10\) y multiplicamos los dos exponentes: \(7\cdot 3 = 21\). ¡Así de simple!\[\left[\left(\frac{3}{10}\right)^7\right]^3=\left(\frac{3}{10}\right)^{7\cdot 3}=\left(\frac{3}{10}\right)^{21}\] -
c) ¡El cero absorbente!
Aquí tenemos tres exponentes: \(11\), \(0\) y \(7\). Si los multiplicamos todos (\(11\cdot 0\cdot 7\)), sabemos que cualquier número multiplicado por cero, ¡da cero! Como el ejercicio pide dejarlo como potencia, lo dejamos elevado a la \(0\) (aunque recuerda que cualquier número elevado a la \(0\) vale \(1\)).\[\left\{\left[\left(\frac{5}{12}\right)^{11}\right]^0\right\}^7=\left(\frac{5}{12}\right)^{11\cdot 0\cdot 7}=\left(\frac{5}{12}\right)^0\]
¡Dominaste la propiedad de potencia de potencia como todo un profesional! 🚀
Ejercicio 5:
Simplificar:
💡 Tip A+ Math: ¡El disfraz de la raíz!
¿Recuerdas la propiedad del exponente fraccionario? Un exponente \(\frac{1}{2}\) es exactamente lo mismo que una raíz cuadrada. ¡Es solo un disfraz! Una vez que lo transformes en raíz, aplica la propiedad de separar las multiplicaciones para hacer el ejercicio mucho más sencillo.
Resolución paso a paso:
-
Paso 1: Quitamos el disfraz
Transformamos ese exponente \(\frac{1}{2}\) en una raíz cuadrada grande que cubre a todo nuestro corchete.\[\left[\frac{4}{9}\times\frac{1}{16}\times\frac{81}{100}\right]^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}\times\frac{1}{16}\times\frac{81}{100}}\] -
Paso 2: Repartimos la raíz
Aplicamos la propiedad «Raíz de un producto». En lugar de tener una raíz gigante, le damos una pequeña raíz cuadrada a cada una de las fracciones para resolverlas por separado.\[\sqrt{\frac{4}{9}}\times\sqrt{\frac{1}{16}}\times\sqrt{\frac{81}{100}}\] -
Paso 3: Resolvemos las raíces
Sacamos la raíz cuadrada de los números de arriba y los de abajo:- Raíz de \(4/9\) es \(2/3\)
- Raíz de \(1/16\) es \(1/4\)
- Raíz de \(81/100\) es \(9/10\)
\[\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}\times\frac{9}{10}\] -
Paso 4: Multiplicamos y simplificamos
Multiplicamos todos los numeradores de frente (arriba) y todos los denominadores de frente (abajo):\[\frac{2\cdot 1\cdot 9}{3\cdot 4\cdot 10}=\frac{18}{120}\]Para llegar a la respuesta final, simplificamos la fracción \(18/120\). Podemos sacarle sexta (dividir entre \(6\)) tanto arriba como abajo:\[\frac{18\div 6}{120\div 6}=\frac{3}{20}\]
Respuesta final: \(3/20\)
Ejercicio 6:
Efectuar:
💡 Tip A+ Math: ¡La voltereta matemática!
Cuando te encuentres con un exponente negativo, no te compliques. Ese signo menos solo te está dando una orden: «¡Dale la vuelta a la fracción!». El número de abajo sube y el de arriba baja. Una vez que haces esa «voltereta», el exponente pierde su signo menos y se vuelve positivo.
Resolución paso a paso:
-
Paso 1: Aplicamos la voltereta al exponente negativo
Invertimos la fracción \(\frac{27}{25}\) para que su exponente \(-1\) se convierta en \(1\) positivo (y como elevar a la 1 es dejar el número igual, el exponente simplemente desaparece).\[\left(\frac{27}{25}\right)^{-1}=\frac{25}{27}\] -
Paso 2: Resolvemos la potencia interior
Calculamos la primera fracción que está elevada al cuadrado \(\left(\frac{3}{5}\right)^2\). El exponente afecta arriba y abajo:\[\left(\frac{3}{5}\right)^2=\frac{3^2}{5^2}=\frac{9}{25}\] -
Paso 3: Multiplicamos y usamos la Simplificación Ninja
Reemplazamos nuestros nuevos valores dentro del corchete original:\[\left[\frac{9}{25}\times\frac{25}{27}\right]^4\]¡Fíjate bien! Tenemos un \(25\) multiplicando arriba y un \(25\) abajo. Los tachamos (se simplifican) y nos queda:\[\left[\frac{9}{27}\right]^4\]Esa fracción \(9/27\) se puede simplificar sacando novena (dividiendo entre \(9\) arriba y abajo):\[\left[\frac{1}{3}\right]^4\] -
Paso 4: Potencia final
Por último, aplicamos el exponente exterior \(4\) que estaba esperando pacientemente. Se lo repartimos al \(1\) y al \(3\):\[\frac{1^4}{3^4}=\frac{1\cdot 1\cdot 1\cdot 1}{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}=\frac{1}{81}\]
Respuesta final: \(\frac{1}{81}\)
Ejercicio 7:
Efectuar:
💡 Tip A+ Math: ¡Detectives estratégicos!
Antes de asustarte con esa raíz gigante, resuelve el problema desde adentro hacia afuera. Primero, deshazte de todos los exponentes negativos dándole la «voltereta» a cada fracción. Luego, antes de sumar todo a lo loco, busca si hay fracciones homogéneas (mismo denominador) para sumarlas primero. ¡Te ahorrará muchísimo tiempo!
Resolución paso a paso:
-
Paso 1: ¡Voltereta general!
Para eliminar los signos negativos de los exponentes, invertimos las tres fracciones que están dentro de la raíz:$$\sqrt{\left(\frac{2}{1}\right)^3+\left(\frac{5}{2}\right)^2+\left(\frac{7}{4}\right)^1}$$Ojo: Recuerda que \(\frac{2}{1}\) es simplemente \(2\). -
Paso 2: Resolvemos las potencias
Ahora que los exponentes son positivos, calculamos cada término por separado:- \(2^3 = 8\)
- \(\left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{5^2}{2^2} = \frac{25}{4}\)
- \(\left(\frac{7}{4}\right)^1 = \frac{7}{4}\)
$$\sqrt{8+\frac{25}{4}+\frac{7}{4}}$$ -
Paso 3: Suma estratégica
¡Atención aquí! No saques el M.C.M. de todo todavía. Fíjate que \(\frac{25}{4}\) y \(\frac{7}{4}\) son fracciones homogéneas (tienen el mismo piso). Sumemos esas dos primero:$$\frac{25}{4}+\frac{7}{4}=\frac{32}{4}=8$$¡Qué sorpresa! Toda esa fracción se convirtió en un \(8\). Ahora lo sumamos con el primer \(8\) que ya teníamos:$$\sqrt{8+8}=\sqrt{16}$$ -
Paso 4: La raíz final
Ya solo nos queda la parte más sencilla. Buscamos un número que multiplicado por sí mismo nos dé \(16\):$$\sqrt{16}=4$$
Respuesta final: \(4\)
Ejercicio 8:
Calcular:
💡 Tip A+ Math: ¡El 2 invisible y la cancelación ninja!
¡No dejes que tantas raíces te asusten! Primero, recuerda el efecto «Muñeca Rusa»: si tienes una raíz dentro de otra, multiplica sus índices para hacer una sola. Y nunca olvides que cuando una raíz no tiene número escrito, ¡hay un 2 invisible escondido ahí! Al final, si el índice de la raíz y el exponente son iguales, ¡se cancelan entre sí!
Resolución paso a paso:
-
Paso 1: Juntamos las raíces
Aplicamos la propiedad «Raíz de raíz». Tenemos un índice \(8\) afuera y un índice \(2\) invisible adentro. Los multiplicamos (\(8\cdot 2 = 16\)) para fusionarlos en una sola súper raíz:\[\sqrt[8\cdot 2]{\left[\frac{1}{2}\right]^{16}}=\sqrt[16]{\left[\frac{1}{2}\right]^{16}}\] -
Paso 2: Aplicamos el exponente fraccionario
Ahora usamos nuestro puente secreto. Convertimos la raíz en un exponente fraccionario. El exponente de adentro (\(16\)) sube, y el índice de la raíz (\(16\)) baja a dividir:\[\left[\frac{1}{2}\right]^{\frac{16}{16}}\] -
Paso 3: Simplificación final
Si dividimos \(16\) entre \(16\), el resultado es simplemente \(1\). Y cualquier número elevado a la \(1\) sigue siendo el mismo número. ¡Magia pura!\[\left[\frac{1}{2}\right]^1=\frac{1}{2}\](Nota ninja: En el paso anterior también podías simplemente «tachar» el 16 de la raíz con el 16 del exponente y llegabas al mismo resultado al instante).
Respuesta final: \(\frac{1}{2}\)
Ejercicio 9:
Reducir:
💡 Tip A+ Math: ¡Simplificación Ninja al rescate!
¡Jamás multipliques números grandes si puedes evitarlo! Antes de mirar los exponentes de afuera, concéntrate en los paréntesis. Si tienes puras multiplicaciones de fracciones, tu misión es buscar números arriba y abajo que se puedan simplificar (tachar). ¡Verás cómo el problema gigante se encoge en segundos!
Resolución paso a paso:
-
Paso 1: Atacamos el primer paréntesis
Vamos a simplificar la primera multiplicación tachando arriba y abajo:- Sacamos mitad al \(2\) (arriba) y al \(4\) (abajo). Nos queda \(1\) arriba y \(2\) abajo.
- Sacamos tercia al \(9\) (arriba) y al \(3\) (abajo). Nos queda \(3\) arriba y el \(3\) desaparece.
- Ese \(3\) que quedó arriba lo simplificamos con el \(15\) de abajo sacando tercia. Nos queda \(1\) y \(5\).
\[\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{9}{15}=\frac{1}{10}\] -
Paso 2: Atacamos el segundo paréntesis
Hacemos lo mismo con el segundo grupo. Fíjate que arriba tenemos \(5\cdot 3\), ¡eso es \(15\)! Ese \(15\) de arriba se tacha por completo con el \(15\) de abajo.
Solo nos sobrevive la fracción \(\frac{9}{18}\), a la cual le sacamos novena (dividimos entre \(9\) arriba y abajo):\[5\cdot\frac{3}{15}\cdot\frac{9}{18}=\frac{1}{2}\] -
Paso 3: Reescribimos y damos la «voltereta»
Reemplazamos nuestras fracciones diminutas en el ejercicio original, con sus exponentes negativos:\[\left(\frac{1}{10}\right)^{-3}\div\left(\frac{1}{2}\right)^{-3}\]Para volver esos exponentes positivos, invertimos las fracciones (el de abajo sube y el de arriba baja). Recuerda que \(\frac{10}{1}\) es simplemente \(10\):\[10^3\div 2^3\] -
Paso 4: Propiedad de exponentes iguales
Como ambos números tienen el mismo exponente (\(3\)), podemos aplicar la propiedad al revés: juntamos la división en un solo paréntesis y dejamos el exponente afuera. Primero dividimos \(10\div 2=5\), y luego elevamos al cubo:\[(10\div 2)^3=5^3\]Calculamos \(5\cdot 5\cdot 5\):\[125\]
Respuesta final: \(125\)
Ejercicio 10:
Aplicación cotidiana
Un carpintero se encarga de fabricar juegos didácticos para la estimulación temprana de bebés, y en esta ocasión le tocó confeccionar cubos de madera como se muestra en la figura.
💡 Tip A+ Math: ¡Los secretos del Cubo!
Un cubo es una figura perfecta donde todos sus lados (aristas) miden exactamente lo mismo.
• Para hallar el Área de una de sus caras (que es un cuadrado), solo elevas su lado al cuadrado: \(A = L^2\).
• Para hallar su Volumen (el espacio que ocupa), elevas su lado al cubo: \(V = L^3\).
Resolución paso a paso:
-
Solución 16: Hallando el Volumen
Sabemos que el lado original del cubo es \(L = \frac{7}{2}\). Aplicamos la fórmula del volumen elevando la fracción al cubo (potencia de una fracción):\[V=\left(\frac{7}{2}\right)^3=\frac{7^3}{2^3}=\frac{343}{8}\text{ cm}^3\]Rpta 16: El volumen es \(\frac{343}{8}\text{ cm}^3\). -
Solución 17: Hallando el Área de un lado
Tomamos el mismo lado original \(L = \frac{7}{2}\) y aplicamos la fórmula del área elevando al cuadrado:\[A=\left(\frac{7}{2}\right)^2=\frac{7^2}{2^2}=\frac{49}{4}\text{ cm}^2\]Rpta 17: El área de un lado es \(\frac{49}{4}\text{ cm}^2\). -
Solución 18: El nuevo cubo del carpintero
Primero, debemos calcular cuánto mide el nuevo lado. El problema dice que aumenta (se suma) en \(\frac{2}{3}\text{ cm}\). Como son fracciones heterogéneas, aplicamos homogeneización o el método del aspa:\[\text{Nuevo Lado}=\frac{7}{2}+\frac{2}{3}=\frac{(7\cdot 3)+(2\cdot 2)}{2\cdot 3}=\frac{21+4}{6}=\frac{25}{6}\text{ cm}\]Ahora que sabemos que nuestro nuevo lado mide \(\frac{25}{6}\text{ cm}\), calculamos la nueva área elevándolo al cuadrado:\[\text{Nueva Área}=\left(\frac{25}{6}\right)^2=\frac{25^2}{6^2}=\frac{625}{36}\text{ cm}^2\]Rpta 18: El área del nuevo lado será \(\frac{625}{36}\text{ cm}^2\).
¡Misión Cumplida, Detectives A+! 🎓
Hoy has dado otro gran salto en tu entrenamiento matemático. Ya no solo sabes sumar o dividir, ¡ahora dominas la Potenciación y Radicación de fracciones! Aprendiste que los exponentes y las raíces gigantes no son un problema si sabes cómo repartirlos de manera justa entre el numerador y el denominador. ¡Tus nuevas herramientas te permiten resolver ejercicios que a simple vista parecían imposibles!
¿Sabías que el símbolo de la raíz (√) tiene cientos de años? Fue introducido por el matemático alemán Christoph Rudolff en el año 1525. Al principio, los matemáticos usaban simplemente una letra «r» minúscula (por la palabra latina radix, que significa «raíz»). Con el tiempo, escribían esa «r» tan rápido al resolver problemas que se fue estirando y deformando hasta convertirse en el símbolo que dibujas hoy en tu cuaderno. ¡Literalmente estás dibujando una «r» súper estirada!
🔋 Próximo Nivel: Aplicación de los Números Fraccionarios
¡Ya tienes todas las armas matemáticas! Sabes sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y sacar raíces. ¿Qué sigue ahora? ¡Usar todo este poder en la vida real! En nuestro próximo tema nos convertiremos en verdaderos detectives para resolver problemas cotidianos: leeremos pistas, interpretaremos textos y plantearemos ecuaciones para encontrar la respuesta.
Un pequeño vistazo a nuestros próximos superpoderes:
Traducción Matemática
Planteamiento Visual
Prepárate para entrenar tu razonamiento y tu lógica, porque las fracciones están en todas partes. ¡Nos vemos en el próximo módulo para seguir esta gran aventura matemática A+!