Operaciones con Números Enteros
Por Joao / 26 de mayo de 2026
¿Te imaginas intentar llevar la contabilidad de una tienda si solo supieras usar números positivos? ¡Sería imposible registrar las deudas! Ahora que ya conoces a los Números Enteros (Z), es momento de aprender cómo interactúan entre ellos.
En esta lección vamos a descubrir que sumar y restar no siempre significa «aumentar» o «quitar» de la forma tradicional. Aprenderemos las reglas del juego para combinar números positivos y negativos sin fallar en el intento. Dominar estas operaciones es como obtener la «Llave Maestra» que abrirá todas las puertas del Álgebra avanzada que verás más adelante.
- Comprender la Suma y Resta de enteros usando la lógica de «tener vs. deber».
- Dominar la Ley de Signos para la Multiplicación y División de forma infalible.
- Resolver operaciones combinadas respetando la jerarquía y eliminando paréntesis correctamente.
- Desarrollar la seguridad para operar con números negativos con la misma rapidez que con los naturales.
¿Qué sucede cuando los signos se encuentran? ¡Lo descubriremos ahora!
Suma y Resta: El truco del Dinero
Para no confundirte nunca con los signos al sumar y restar, olvídate un momento de las matemáticas y piensa en dinero. En nuestro juego mental:
- Los números positivos (+) son dinero que TIENES a tu favor (ganancias o ahorros).
- Los números negativos (−) son dinero que DEBES a alguien (deudas).
Caso 1: Signos Iguales (Amigos que se unen)
Cuando los números tienen el mismo signo, hacen equipo. Se suman sus valores y el resultado mantiene el mismo signo.
• +5 + 3 = +8 → (Tengo 5 y gano 3, ahora tengo 8).
• −4 − 2 = −6 → (Debo 4 y luego pido prestado 2 más, ¡ahora mi deuda creció a 6!).
Caso 2: Signos Diferentes (La Batalla)
Cuando los números tienen signos distintos, se enfrentan. Se restan sus valores (el mayor menos el menor) y el resultado se queda con el signo del número más «fuerte» (el que tiene mayor valor absoluto).
• +7 − 3 = +4 → (Tengo 7, pago una deuda de 3, me sobran 4 a favor).
• −8 + 5 = −3 → (Debo 8, abono 5, todavía sigo debiendo 3).
💡 Tip A+: ¡Acuérdate de la regla del número más fuerte! Si ves −20 + 2, sin hacer ningún cálculo ya sabes que el resultado será negativo, ¡porque la deuda (20) es mucho más grande que el dinero a favor (2)!
Práctica Rápida: La Batalla de los Signos
Resuelve mentalmente las siguientes operaciones recordando el truco del dinero (lo que tienes y lo que debes):
💡 Tip A+: Antes de decir el número, pregúntate siempre primero: «¿Mi resultado va a ser positivo o negativo?». Encuentra el signo ganador primero, y luego haz la suma o resta.
Solución Paso a Paso:
Vamos a resolver cada caso traduciéndolo al lenguaje de las ganancias y deudas para no fallar.
Multiplicación y División: La Famosa Ley de Signos
¡Atención aquí! Este es el momento donde muchos estudiantes se confunden. La regla que acabamos de ver de ganancias y deudas NO se usa para multiplicar y dividir.
Para la multiplicación y la división existe una regla de oro única, mucho más directa, llamada la Ley de Signos. Solo tienes que recordar dos principios:
Amigos (Signos Iguales)
El resultado SIEMPRE es Positivo (+)
Enemigos (Signos Diferentes)
El resultado SIEMPRE es Negativo (−)
• (−4) × (−3) = +12 → (Menos por menos da más).
• (5) × (−6) = −30 → (Más por menos da menos).
Ejemplos de División:
• (−20) ÷ (+4) = −5 → (Menos entre más da menos).
• (−18) ÷ (−2) = +9 → (Menos entre menos da más).
💡 Tip A+: En la multiplicación y división, hazlo en dos pasos ordenados. Primero multiplica (o divide) los signos y anota el resultado. Luego, multiplica (o divide) los números sin preocuparte por nada más.
Eliminando Paréntesis: Las Reglas de los Signos Invisibles
En las operaciones combinadas, los paréntesis funcionan como «cajas» protectoras. Antes de empezar a sumar o restar, necesitamos abrir esas cajas. Para lograrlo, el signo que está justo afuera debe multiplicarse por el signo que está adentro usando la Ley de Signos.
1. Si afuera hay un signo MÁS (+) → ¡El Amigo Fiel!
El signo positivo de afuera es inofensivo. No cambia nada. El número sale de la caja exactamente con el mismo signo que tenía adentro.
2. Si afuera hay un signo MENOS (−) → ¡El Interruptor Rebelde!
El signo negativo de afuera es un interruptor. Cambia por completo la polaridad de lo que toca. El número sale de la caja con el signo opuesto al que tenía.
Imagina que tienes esta operación en tu cuaderno: (−10) + (−5) − (−3)
• El primer número (−10) no tiene ningún signo delante, así que sale libre de su caja: −10
• Al segundo número le antecede un más +(−5), por lo que su signo no cambia: −5
• Al tercer número le antecede un menos −(−3), ¡así que su signo cambia al opuesto!: +3
• Juntamos las deudas: −10 y −5 nos da una deuda total de −15.
• Ahora enfrentamos la deuda con la ganancia: −15 + 3
• Signos diferentes se restan y se queda el signo del mayor: −12
Jerarquía de las Operaciones: El Tráfico Matemático
Cuando nos encontramos con un problema que tiene sumas, restas, multiplicaciones y paréntesis todos mezclados, no podemos simplemente resolverlo de izquierda a derecha como si estuviéramos leyendo un cuento. ¡Las matemáticas tienen reglas de tráfico estrictas sobre quién avanza primero!
A esto le llamamos el Orden de las Operaciones. Para llegar al resultado correcto, siempre debes seguir estos 3 pasos obligatorios:
1 Signos de Agrupación
En primer lugar, se resuelven las operaciones que están encerradas dentro de los signos de agrupación (paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }).
Regla de oro: Si hay signos de agrupación dentro de otros (como una caja dentro de otra caja), siempre se debe resolver desde la más profunda de adentro hacia afuera.
2 El Orden de Poder (La Jerarquía)
Una vez que ya no hay símbolos de agrupación (o si el problema no los tenía desde el inicio), se opera respetando los rangos de poder:
- Primer Rango: Potencias y raíces (Las veremos en el próximo tema).
- Segundo Rango: Multiplicaciones y divisiones.
- Tercer Rango: Adiciones (sumas) y sustracciones (restas).
3 Empates: De Izquierda a Derecha
Si te encuentras con dos operaciones que tienen exactamente la misma jerarquía juntas (por ejemplo, una multiplicación pegada a una división, o puras sumas y restas), siempre se deben operar en orden de lectura: de izquierda a derecha.
💡 Tip A+: Piensa en las multiplicaciones y divisiones como operaciones «VIP» que siempre tienen pase directo para resolverse antes que las sumas y restas (a menos que un paréntesis indique lo contrario).
Ejercicio 1:
Practicando: Suma y Resta de Enteros
Resuelve las siguientes operaciones. ¡Acuérdate de la regla del dinero para saber si el resultado será positivo o negativo!
Solución Paso a Paso:
En los tres ejercicios tenemos signos diferentes (un negativo y un positivo). Aplicamos la regla: se restan y se coloca el signo del mayor.
Ejercicio 2:
Practicando: Multiplicación y División (Ley de Signos)
Resuelve las siguientes operaciones en dos pasos: primero multiplica o divide los signos, y luego haz lo mismo con los números. ¡Olvídate de la regla de las deudas aquí!
Solución Paso a Paso:
Recuerda nuestra Ley de Signos: Amigos (signos iguales) dan positivo (+). Enemigos (signos diferentes) dan negativo (−).
Ejercicio 3:
Practicando: Sumas y Restas Combinadas
Ahora vamos a combinar más números. ¡Tranquilo! El secreto aquí es el orden. Agrupa los números que tienen el mismo signo antes de dar tu respuesta final.
💡 Tip A+: Estrategia de Agrupación. Cuando tengas muchos números, suma todas las deudas (negativos) por un lado, y todas las ganancias (positivos) por el otro. ¡Así solo tendrás que hacer una resta al final!
Solución Paso a Paso:
Aplicaremos la estrategia de agrupar positivos con positivos, y negativos con negativos para simplificar nuestro trabajo.
Nos queda: −17 + 6
Resultado: −11
Nos queda: 15 − 17
Resultado: −2
Nos queda solo juntar las deudas: −6 y −3.
Resultado: −9
Resultado: 0
Resultado: −3
Nos queda: −100 + 112 (Tengo 112, pago 100).
Resultado: 12 (o +12)
Ejercicio 4:
Reto Avanzado: Multiplicación Encadenada y División
Aplica la Ley de Signos. Si tienes multiplicaciones largas, resuelve agrupando de dos en dos, de izquierda a derecha. ¡Y mantén los ojos bien abiertos en busca de trampas!
💡 Tip A+: ¿Ves un cero en una multiplicación larga? ¡Detente ahí mismo! Recuerda la propiedad absorbente del cero: cualquier número multiplicado por cero, sin importar su signo o tamaño, siempre da como resultado cero.
Solución Paso a Paso:
Vamos a resolver los problemas combinados aplicando la Ley de Signos por parejas.
Resultado: +24 (o simplemente 24)
Resultado: 0
Resultado: +16
Luego multiplicamos ese resultado por el que falta: +6 × −6.
Más por menos da menos.
Resultado: −36
• −5 × −1 = +5
• +5 × −4 = −20
• −20 × 3 = −60
Resultado: −60
Resultado: −3
Ejercicio 5:
Practicando: Sumas con «Empaque» (Paréntesis)
A veces, los números enteros usan paréntesis como un «escudo» para separar su propio signo del signo de la operación. Para resolver esto, nuestro primer paso siempre será destruir el paréntesis usando la Ley de Signos (el signo de afuera multiplica al de adentro).
💡 Tip A+: Un signo POSITIVO (+) afuera de un paréntesis no cambia nada. Si tienes +(−4), más por menos es menos, así que el número sale simplemente como −4. ¡Sácalos de sus cajas y luego agrupa tus deudas y ganancias!
Paso 1: Destruir los paréntesis.
En todos estos ejercicios, el signo de suma (+) está chocando con el signo de adentro. Usando la ley de signos, más por menos da menos, y más por más da más. Básicamente, ¡el número sale con el mismo signo que tenía adentro!
Ejercicio 6:
Practicando: Destrucción de paréntesis en cadena
Calcule:
(+3) − (−2) + (+4) − (−3)
💡 Tip A+: Tu primera misión siempre es eliminar los paréntesis. Recuerda: si hay un signo MENOS afuera, cambia el signo de adentro. Si hay un signo MÁS, se mantiene igual.
Paso 1: Destruir los paréntesis
Vamos a aplicar la Ley de Signos para cada «caja»:
↓ ↓ ↓ ↓
+3 + 2 + 4 + 3
Paso 2: Operar (Dos caminos, un mismo destino)
Ahora que tenemos la expresión limpia (+3 + 2 + 4 + 3), podemos resolverla de dos maneras distintas que son totalmente válidas. ¡Elige tu favorita!
Como aprendimos antes, podemos juntar todas las ganancias (positivos) por un lado y las deudas (negativos) por el otro. En este caso particular, ¡todos los números resultaron ser positivos!
Solo tenemos ganancias, así que sumamos todo directo:
3 + 2 + 4 + 3 = 12
Aplicando la Regla 3 de la Jerarquía de Operaciones, como son solo sumas, las resolvemos en el orden en que las leemos:
• 3 + 2 + 4 + 3
• 5 + 4 + 3
• 9 + 3
= 12
Respuesta correcta: c) 12
Ejercicio 7:
Practicando: ¡Cuidado con la multiplicación oculta!
Calcule:
(−3) − (−4) + 8(−2) − (+3)
💡 Tip A+: ¡Alerta de Jerarquía! Cuando ves un número pegado a un paréntesis sin un signo de suma o resta en medio, como 8(−2), significa MULTIPLICACIÓN. Por las reglas de tráfico matemático, ¡esa es la operación VIP que debes resolver primero!
Paso 1: Identificar la operación «VIP» (Jerarquía)
Tenemos sumas, restas y una multiplicación oculta: 8(−2). Según nuestras reglas de jerarquía, la multiplicación se resuelve primero.
Más por menos da menos: 8 × (−2) = −16.
↓ ↓ ↓ ↓
(−3) − (−4) − 16 − (+3)
Paso 2: Destruir los paréntesis restantes
Ahora aplicamos la regla de los signos invisibles para abrir las cajas que quedan:
• El (−3) sale igual: −3
• El −(−4) cambia de signo (menos por menos): +4
• El −(+3) cambia de signo (menos por más): −3
Paso 3: Agrupar y resolver
Para no equivocarnos en la recta final, juntamos todas nuestras deudas (negativos) y nuestras ganancias (positivos).
• Deudas (−): −3, −16 y −3 suman una gran deuda de −22.
• Ganancias (+): Solo tenemos +4.
• Enfrentamos: −22 + 4 = −18
Respuesta correcta: a) −18
Ejercicio 8:
Reto A+: Multiplicaciones en Bloque
Efectúe:
(−3)(−2) − (+2)(−4) + (−1)(−3)
💡 Tip A+: En el álgebra, cuando veas dos paréntesis pegados sin ningún signo de suma o resta entre ellos, como (−3)(−2), ¡es una multiplicación oculta! Resuelve primero esos bloques aplicando la Ley de Signos.
Paso 1: Resolver las Multiplicaciones (Jerarquía VIP)
Identificamos tres bloques de multiplicaciones separados por una resta y una suma. Las resolvemos primero usando la regla de Amigos y Enemigos:
- Bloque 1: (−3)(−2) → Menos por menos = Más. Resultado: +6
- Bloque 2: (+2)(−4) → Más por menos = Menos. Resultado: −8
- Bloque 3: (−1)(−3) → Menos por menos = Más. Resultado: +3
Paso 2: Reconstruir y eliminar paréntesis
Colocamos nuestros nuevos resultados en la operación original, manteniendo los signos de resta y suma que los separaban:
Paso 3: Operación Final
Ahora aplicamos la regla de los «signos invisibles» para sacar los números de sus cajas. ¡El signo menos de afuera le cambia el signo al −8!
Respuesta correcta: a) 17
Ejercicio 9:
Practicando: ¡Los paréntesis mandan!
Efectúe:
10(6 − 12) + (3 − 5)(−2)
💡 Tip A+: Recuerda la Regla 1 del tráfico matemático: ¡Los signos de agrupación tienen prioridad absoluta! Resuelve primero las restas que están adentro de los paréntesis antes de intentar multiplicar con los números de afuera.
Paso 1: Resolver el interior de los paréntesis
Vamos a enfocarnos únicamente en lo que está adentro de las cajas, aplicando la regla de ganancias y deudas:
- Primer paréntesis: (6 − 12) → Tengo 6 y debo 12. Sigo debiendo 6. Resultado: −6
- Segundo paréntesis: (3 − 5) → Tengo 3 y debo 5. Sigo debiendo 2. Resultado: −2
Paso 2: Reconstruir y Multiplicar
Colocamos nuestros nuevos resultados en la expresión. Ahora que no hay operaciones de suma/resta dentro de los paréntesis, los números de afuera pasan a multiplicarlos.
Resolvemos las multiplicaciones (Regla 2 de jerarquía).
• 10 × (−6) = −60 (Más por menos da menos).
• (−2) × (−2) = +4 (Menos por menos da más).
Paso 3: Operación Final
Finalmente, realizamos la suma o resta final agrupando.
= −56
Respuesta correcta: c) −56
Ejercicio 10:
Practicando: Paréntesis y División
Efectúe:
(15 − 5) ÷ (−7 + 5)
💡 Tip A+: ¡No te adelantes a dividir! Primero debes descubrir qué número se esconde dentro de cada paréntesis resolviendo las sumas o restas. Una vez que tengas un solo número de cada lado, aplica la Ley de Signos para la división.
Paso 1: Resolver el interior de los paréntesis
Vamos a reducir cada caja a un solo número aplicando lo que sabemos de ganancias y deudas:
- Primer paréntesis: (15 − 5) → Es una resta sencilla. Tengo 15 y gasto 5. Resultado: 10 (o +10)
- Segundo paréntesis: (−7 + 5) → Debo 7 y abono 5. Mi deuda es más grande. Resultado: −2
Paso 2: Reconstruir y Dividir
Colocamos nuestros nuevos resultados en la expresión original respetando el signo de división central:
Paso 3: Ley de Signos
Aplicamos la jerarquía para la división. Recuerda que el 10 es positivo invisible (+).
Más entre menos da menos (−).
10 dividido entre 2 es 5.
Respuesta correcta: b) −5
Ejercicio 11:
Reto Final: Aplicación a la Vida Real
En una evaluación escrita de 20 preguntas, se considera +2 puntos a favor por respuesta bien contestada, −1 punto si la respuesta es incorrecta y 0 puntos por pregunta sin responder.
| Gabriela | Fabricio | Antonio |
|---|---|---|
| 10 bien contestadas | 7 bien contestadas | 13 bien contestadas |
| 4 mal contestadas | 1 mal contestada | 7 mal contestadas |
| 6 sin responder | 12 sin responder | 0 sin responder |
- a) ¿Cuál de los tres obtiene mayor puntaje, por pregunta bien contestada?
- b) ¿A quién se le descuenta mayor puntaje por respuesta incorrecta? ¿Cuánto?
- c) ¿Cuál de los siguientes estudiantes obtuvo mayor puntaje?
- d) Si por pregunta incorrecta descontaran 2 puntos. ¿Quién obtendría mayor puntaje? Justifica tu respuesta.
💡 Tip A+: Analiza pregunta por pregunta. Transforma la situación a operaciones matemáticas. Por ejemplo: si tengo 10 preguntas correctas que valen +2 puntos, la operación es 10 × (+2).
Solución Detallada:
Vamos a resolver cada pregunta traduciendo los datos de la tabla a operaciones matemáticas usando enteros positivos (ganancias) y negativos (descuentos).
- Gabriela: 10 × (+2) = +20 puntos
- Fabricio: 7 × (+2) = +14 puntos
- Antonio: 13 × (+2) = +26 puntos
- Gabriela: 4 × (−1) = −4 puntos
- Fabricio: 1 × (−1) = −1 punto
- Antonio: 7 × (−1) = −7 puntos
Aquí sumamos los puntos a favor, los puntos en contra y los 0 puntos de las no respondidas.
- Gabriela: (+20) + (−4) + 0 = 20 − 4 = 16 puntos totales
- Fabricio: (+14) + (−1) + 0 = 14 − 1 = 13 puntos totales
- Antonio: (+26) + (−7) + 0 = 26 − 7 = 19 puntos totales
Volvemos a calcular, pero ahora multiplicamos los errores por −2 en lugar de −1.
- Gabriela: (+20) + [ 4 × (−2) ] = 20 − 8 = 12 puntos
- Fabricio: (+14) + [ 1 × (−2) ] = 14 − 2 = 12 puntos
- Antonio: (+26) + [ 7 × (−2) ] = 26 − 14 = 12 puntos
Ejercicio 12:
El Gran Desafío Final: Operaciones Anidadas
Efectúe:
− { 7 + [ 5 − (−7 − 2) ] } + 5 − { [ 9 − (14 − 5) + 3 ] − 5 } − 8
💡 Tip A+: ¡Respira profundo y mantén el orden! Imagina que es como desarmar una muñeca rusa. Siempre debes empezar por la operación que esté más escondida en el centro (los paréntesis redondos), luego vas por los corchetes cuadrados y al final destruyes las llaves. Copia todo igualito en cada paso para no perder ningún signo.
Solución Paso a Paso: El Método del Escáner
Vamos a resolver esto escaneando la operación de adentro hacia afuera. Copiaremos todo el ejercicio en cada paso, resolviendo solo una capa a la vez para no confundirnos.
Resolvemos: (−7 − 2) = −9 | (14 − 5) = 9
− { 7 + [ 5 − (−9) ] } + 5 − { [ 9 − (9) + 3 ] − 5 } − 8
El primer −(−9) se vuelve +9. El segundo −(9) se vuelve −9.
Resolvemos: [5 + 9] = 14 | [9 − 9 + 3] = 3
− { 7 + [ 14 ] } + 5 − { [ 3 ] − 5 } − 8
Quitamos los corchetes que ya no hacen nada y resolvemos lo que quedó dentro de las llaves.
− { 21 } + 5 − { −2 } − 8
Aplicamos Ley de Signos para quitar las llaves y luego juntamos todo de izquierda a derecha (o agrupando).
Agrupamos negativos (−21 y −8 = −29) y positivos (+5 y +2 = +7):
−29 + 7 = −22
Respuesta correcta: c) −22
¡Reto Superado: Eres un Maestro de los Signos!
Si has logrado llegar hasta aquí y entiendes cómo desarmar estas operaciones paso a paso, ¡felicidades! Acabas de dominar una de las herramientas más importantes de toda la secundaria. La Ley de Signos y la Jerarquía de Operaciones te acompañarán en todos los años de matemáticas que te quedan por delante. ¡Ya tienes una base de acero!
Próximo Módulo: Potencias y Raíces
¿Recuerdas que en nuestra pirámide de jerarquía dejamos el «Primer Rango» pendiente? ¡Es hora de desbloquearlo! En nuestra próxima lección aprenderemos a multiplicar un mismo número muchas veces de forma súper rápida (Potenciación) y a hacer exactamente lo contrario (Radicación). Descubriremos qué pasa cuando elevamos un número negativo a una potencia. ¡Te aseguro que te sorprenderá!
💡 Tip A+: Para ser un experto en potencias y raíces, vas a necesitar usar la regla de multiplicación de signos que acabamos de practicar. ¡Repásala un poco antes de empezar el siguiente nivel!